ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ
Урок Определенный интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.
Цели: рассмотреть понятия криволинейной трапеции и определенного интеграла; изучить формулу Ньютона- Лейбница; формирование навыков вычисления площадей криволинейных трапеций.
Актуализация прежних знаний
1. Закончить предложение «Неопределенным интегралом функции f(x) называется …
2. Правая часть равенства
3. Найти: 1) , 2) , 3) 4) 5)
Изучение нового.. §56, 57
1. Определенный интеграл. Основные понятия и определения
Выражение называется определенным интегралом функции на отрезке
Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования.
Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой .
Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой .
Отрезок называется отрезком интегрирования.
Что такое определенный интеграл? Определенный интеграл – это ЧИСЛО.
Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл? Есть. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла.
Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.
Как решить определенный интеграл? С помощьюформулы Ньютона-Лейбница:
Формула Ньютона- Лейбница.
Теорема. Пусть - первообразная функции . Тогда
Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница, из нее следует, что для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции.
Этапы решения определенного интеграла следующие:
1) Сначала находим первообразную функцию (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа в определенном интеграле не добавляется. Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.
2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .
3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .
4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число.
Свойства определенного интеграла.
1. 2. 3.
4. 5. если
Пример 1
Вычислить определенный интеграл
Решение:
(1) Выносим константу за знак интеграла.
(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу целесообразно отделить от и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?
(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.
Пример 2
Вычислить определенный интеграл
Решение:
Пример 3
Вычислить определенный интеграл
Решение:
(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.
(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.
(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:
Смотрим, если непонятно!
https://www.youtube.com/watch?v=5xFJBunQYSI
И
https://www.youtube.com/watch?v=LNb8GlMXCRA
. Решить №1004, 1006