1. Рефлексивность есть свойство, которое состоит в том, что каждый элемент отношения находится в том же отношении к самому себе.
Аксиома для рефлексивности:
" x"y (xRy) É (xRx L yRy).
Рефлексивными отношениями, например, являются отношения «равенства», «эквивалентности», «тождества» и т. д.
Отношение, не удовлетворяющее данному свойству, называется антирефлексивным – когда ни один предмет данного отношения не находится в этом отношении к самому себе.
Аксиома для антирефлексивности:
" x"y (xRy) É (xRx L yRy).
Антирефлексивными являются, например, отношения «отцовство», «большинство», «старшинство».
2. Симметричность – это такие отношения, когда для любых предметов x и y данного класса является верным то, что если предмет x находится в каком-то отношении к предмету y, то и предмет y находится в этом отношении к предмету x.
Аксиома для симметричности:
" x"y (xRy É yRx).
Свойством симметричности обладают такие отношения, например, как «равенство», «неравенство», «соседства».
Антисимметричность – это такие отношения между предметами, когда для любых (необязательно разных) предметов x и y данного класса является верным, что если предмет x находится в каком-то отношении к предмету y, то предмет y не находится в этом же отношении к предмету x.
Аксиома для антисимметричности:
" x"y (xRy ≡ yRx) или " x"y (xRy ≠ yRx).
Примерами такого рода отношений, являются, например, отношения «являться мужем», «быть больше».
Асимметричность – это такие отношения между предметами, когда для любых разных предметов x и y данного класса является верным, что если предмет x находится в каком-то отношении к предмету y, то предмет y не находится в этом же отношении к предмету x.
Данные отношения имеют место тогда, когда некоторые отношения не являются ни симметричными, ни антисимметричными.
Асимметричным отношением является, например, отношение «ухаживать за», – оно не является симметричным и в то же время с необходимостью не является асимметричным.
3. Транзитивность – это свойство отношиний для x, y и z некоторого класса, которое устанавливается тогда и только тогда, когда x находится в некотором отношении с y и y находится в том же отношении к z, а это влечет то, что x находится в том же отношении с z..
Аксиома для транзитивности:
" x " y " z (xRy L yRz) É (xRz).
Примерами транзитивных отношений являются отношения «больше», «равно», «ниже».
В случае, если указанное выше условие не выполняется, отношение называется нетранзитивным.
Аксиома для нетранзитивности:
" x " y " z (xRy L yRz) É (xRz).
Например, таковыми являются отношения «любить», «ненавидеть», «зависеть», «владеть».
4. Эквивалентность – это такие отношения, которые обладают свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Эквивалентность каких-либо предметов означает их равенство (тождество) в каком-то отношении.
Эквивалентными являются, например, отношения «равенства», «тождества», «сверстничества».
5. Отношения порядка. В математике различают три вида структур: алгебраические, топологические (сохраняющие непрерывность) и структуры порядка. Отношения порядка обладают свойствами антисимметричности / асимметричности и транзитивности, т. е. отношения, удовлетворяющие указанным свойствам, квалифицируются как отношения порядка.
3. Суждения свойства (атрибутивные).
Атрибутивные суждения – это суждения, в которых либо утверждается, либо отрицается наличие некоторого свойства у предмета. Атрибутивное суждение называют также категорическим, поскольку утверждение или отрицание свойств или признаков предмета производится с необходимостью, т. е. безотносительно к каким-либо условиям. Атрибутивные суждения можно рассматривать также, как частный случай суждений об отношениях, а именно как суждения с одноместным предикатом. Часто некоторые суждения об отношениях допускают свой перевод в форму атрибутивного суждения. Например, суждение об отношениях «Земля (субъект суждения) вращается вокруг (предикат суждения) Солнца (субъект суждения)» может быть истолковано как атрибутивное – например, «Земля (субъект суждения) есть (связка) планета, которая вращается вокруг Солнца (предикат суждения)», или «Солнце (субъект суждения) есть (связка) небесное тело, вокруг которого вращается Земля (предикат суждения)», либо как «Отношение между Солнцем и Землей (субъект суждения) есть (связка) отношение такое, что Земля вращается вокруг Солнца (предикат суждения)».
То есть в атрибутивных суждениях утверждается или отрицается принадлежность предмету известных свойств, состояний, видов деятельности. Примеры: «Мед сладкий», «Шопен не является драматургом». Схемы этого вида суждения: «S есть Р » или «S не есть Р».