Лабораторная работа 7
Численное интегрирование функции.
Цель работы. На примере разработки программы для численного интегрирования функции с заданной точностью методом прямоугольников и методом трапеций освоить следующие приемы программирования:
- передача в функцию параметров «по значению» и «по адресу»;
- передача в функцию имени функции;
- передача одномерных массивов в функцию;
- объединение разнородных данных в структуру;
- использование массивов из элементов типа структура;
Задание.
1. Численное интегрирование функции с заданной точностью методом прямоугольников.
Вычислить определённый интеграл 
в пределах от a до b для четырех функций f1 = x, f2 = sin(22 * x), f3 = x4 и f4 = arctg(x).
Вычисление интеграла оформить в виде функции IntRect.
Вычисления выполнить для пяти значений точности: 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001 и 0.000001.
Исследовать быстродействие алгоритма в зависимости от подынтегральной функции и требуемой точности (быстродействие алгоритма можно оценить числом элементарных прямоугольников n).
Результаты представить в виде 5 таблиц, по одной таблице для каждого значения точности. В каждой таблице выводить данные для всех четырех функций.
Для печати таблицы результатов использовать функцию
void PrintTabl(I_print i_prn[],int k), приведенную в приложении 2.
Здесь i_prn[] – массив структур типа I_print размерностью k.
Вид таблицы приведен в Приложении 1.
2. Выполнить п.1, используя для интегрирования метод трапеций. Вычисление интеграла оформить в виде функции IntTrap.
Для печати таблиц результатов использовать ту же функцию, что и в методе прямоугольников.
Указания по выполнению работы.
Задача вычисления определенного интеграла формулируется следующим образом: вычислить для подынтегральной функции f(x) при заданных значениях пределов интегрирования a, b и требуемой точности eps.
Метод прямоугольников. При численном интегрировании площадь под кривой заменяется суммой площадей «элементарных» прямоугольников с высотой, проведенной из середины основания.
Формула приближенного значения определенного интеграла представляется в виде
,
где: xi = a + Dx/2 + (i-1)Dx; N - число элементарных прямоугольников.
Для уменьшения объема вычислений множитель Dx следует вынести за знак суммы. Тогда в цикле нужно выполнять только суммирование, а затем полученную сумму один раз умножить на Dx.
Для оценки погрешности вычисления интеграла на практике используют правило Рунге. Суть правила состоит в том, что выполняют вычисление интеграла с двумя разными шагами изменения переменной х, а затем сравнивают результаты и получают оценку точности. Наиболее часто используемое правило связано с вычислением интеграла дважды: с шагом Dx и шагом Dx/2.
Для методов прямоугольников и трапеций погрешность R Dx/2 вычисления интеграла с шагом Dx/2 оценивается следующей формулой:
|R Dx/2 | = 
, (1)
где I Dx/2 – значение интеграла, вычисленное с шагом Dx/2; I Dx – значение интеграла, вычисленное с шагом Dx.
В программе вычисления интеграла с точностью eps во внутреннем цикле находят значение определенного интеграла с шагом Dx/2. Во внешнем цикле производится сравнение значений интегралов, вычисленных с шагами Dx и Dx/2 соответственно. Если требуемая точность не достигнута, то число разбиений удваивается, а в качестве предыдущего значения интеграла берут текущее и вычисление интеграла выполняется при новом числе разбиений.
Вычисление интеграла оформить в виде функции IntRect, формальными параметрами которой являются:
f - имя интегрируемой функции,
a, b – границы интервала интегрирования,
eps – требуемая точность,
n – число прямоугольников, при котором достигнута требуемая точность (выходной).
Функция возвращает значение интеграла.
Прототип функции:
double IntRect(TPF f,double a,double b,double eps,int& n);
Здесь:
TPF – тип указателя на подынтегральную функцию:
typedef double (*TPF)(double);
Для хранения и печати результатов вычислений используйте структуру, элементами которой являются наименование функции, значения интеграла (точное и вычисленное в виде суммы) и число «элементарных» прямоугольников n, при котором достигнута требуемая точность. Точные значения, полученные аналитически, нужны для оценки правильности результатов численного интегрирования.
Так как в лабораторной работе требуется выполнять вычисление интеграла для четырех функций, для пяти значений точности для каждой функции и двумя методами, то для сокращения объема программы следует использовать циклы, а для обеспечения возможности реализации циклов обрабатываемые данные нужно хранить в массивах (массив указателей на функции, массив значений точности, массив структур для хранения и печати результатов вычислений).
Метод трапеций. Алгоритм метода трапеций аналогичен алгоритму метода прямоугольников, только площадь элементарной трапеции вычисляется по формуле: Sт=dx*(f(x)+f(x+dx))/2.
При этом значения функций на границах внутренних отрезков при вычислении интеграла используются дважды, а на границах интервала [a,b] - только один раз.
Прототип функции:
double IntTrap(TPF f,double a,double b,double eps,int& n);
Формулы для вычисления точных значений интеграла:
=(b*b - a*a)/2.0;
sin(22x)dx =(cos(a*22.0) - cos(b*22.0))/22.0;
x4dx =(b*b*b*b*b - a*a*a*a*a)/5.0;
=b*atan(b) - a*atan(a) - (log(b*b+1) - log(a*a+1))/2.0;