Принципиальные особенности работы резонатора можно рассмотреть, используя модель колебательного контура с сосредоточенными параметрами (рис. 1.1). Колебательный контур может запасать энергию электрического и магнитного поля в емкости и индуктивности и описывается обычным уравнением колебаний:
Lq¨+ Rq˙ + 1 C q = U(t), (1.1)
где q – электрический заряд, L – индуктивность, R – сопротивление, C – емкость, U(t) – напряжение генератора. Уравнение (1.1) может быть представлено в стандартной форме уравнения, описывающего вынужденные колебания линейного осциллятора
q¨+ 2δ0q˙ + ω02q = ω0 ρ0 U(t), (1.2)
где введены параметры: характеристическое сопротивление контура
декремент затухания
и собственная частота
Модель, описываемая уравнением (1.2), также позволяет ввести понятие собственной добротности Q0 = ω0/2δ0.
Для описания установившихся вынужденных колебаний, когда все переходные процессы уже затухли, решение удобно искать в спектральном виде:
превращающим дифференциальное уравнение в алгебраическое с решением
Из этого выражения сразу определяется стационарный отклик на гармонический сигнал U0 cos(ωt + φ) = U0ℜ[e −i(ωt+φ) ]:
Модель колебательного контура хорошо описывает свойства любой линейной колебательной системы вблизи одного из ее резонансов. Недостатком модели с сосредоточенными параметрами является то, что в ее рамках нельзя ввести понятие спектра мод системы. Эта модель не предусматривает также одной важной особенности резонаторов – то, что они возбуждаются не заданным напряжением U(t), а волной, которая приходит от генератора и частично поглощается в резонаторе, а частью отражается от него.
Простейшим резонатором с разряженным за счет дифракционных потерь спектром является резонатор Фабри-Перо, подробному рассмотрению которого будет посвящена Глава 3. Это резонатор, образованный двумя зеркалами, расположенными на расстоянии d. Зеркала обладают коэффициентом отражения по мощности R.
Добротность резонатора типа Фабри-Перо выражается следующим соотношением:
здесь k = 2π/λ – волновое число.
В соответствии с выражением (1.42) при тех же зеркалах добротность резонатора прямо пропорциональна длине.
Современная технология изготовления многослойных диэлектрических покрытий и прецизионной полировки позволила получить зеркала с коэффициентом отражения 1 − R = 1.6 × 10−6 (так называемые “суперзеркала”). Добротность в резонаторе типа Фабри-Перо с характерной длиной порядка 4 мм с такими зеркалами на длине волны λ = 0.85 мкм составляет Q = 2 × 1010. Однако такие зеркала не лишены недостатков. Получаемые диэлектрические суперпокрытия весьма чувствительны к внешним влияниям и быстро деградируют при обычных условиях. Эти покрытия узкополосны, т.е. хорошо отражают излучение только в узкой полосе вблизи заданной длины волны. Резонаторы Фабри-Перо малого размера чрезвычайно чувствительны к акустическим колебаниям, что осложняет их использование в большинстве прецизионных экспериментов. Кроме технических ограничений добротность обычных квазиодномерных оптических резонаторов связана прямой пропорциональностью с их линейными размерами. Это вступает в противоречие как с потребностями экспериментальной техники – необходимостью работать с малым числом квантов и малым объемом локализации поля, так и с потребностями в миниатюризации компонентов, диктуемыми развитием волоконной и интегральной оптики.