Алгоритм решения квадратных уравнений
Пример 1. Решить −6x2 = 0. Как решаем:
1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:
−6x2 = 0
x2 = 0
x = √0
x = 0Ответ: 0.
Как решить уравнение ax2 + с = 0
Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax2 + c = 0:
· перенесем c в правую часть: ax2 = - c,разделим обе части на a: x2 = - c/а.
Если — c/а < 0, то уравнение x2 = - c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Если — c/а > 0, то корни уравнения x2 = - c/а будут другими.
Пример 2. Найти решение уравнения 8x2 + 5 = 0.
Как решать:
Перенесем свободный член в правую часть:
8x2 = - 5
Разделим обе части на 8:
x2 = - 5/8
В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.
Ответ: уравнение 8x2 + 5 = 0 не имеет корней.
Как решить уравнение ax2 + bx = 0Неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:
1. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.
2. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.
Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 имеет два корня:
· x = 0; x = −b/a.
Пример 3. Решить уравнение 0,5x2 + 0,125x = 0
Как решать:
Вынести х за скобки
х(0,5x + 0,125) = 0
Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
Решить линейное уравнение:
0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5
Разделить:
х = 0,25
Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.
Ответ: х = 0 и х = 0,25.
Полные квадратные уравнения Дискриминант: формула корней квадратного уравнения
Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:
где D = b2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения. Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней
Алгоритм решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0:
· вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b2−4ac;
· если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
· если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
· если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней 
Примеры решения квадратных уравнений
Пример 1. Решить уравнение −4x2 + 28x — 49 = 0.
Как решаем:
1. Найдем дискриминант: D = 282 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень 3Найдем корень 
х = - 28/2(-4)
х = 3,5Ответ: единственный корень 3,5.
Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x2 = 0.
Как решаем:
1. Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1
54 — 6x2 = 0 | *(-1)
6x2 — 54 = 0
Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую
6x2 = 54
х2 = 9
х = ±√9
х1 = 3, х2 = - 3
Ответ: два корня 3 и — 3.
Пример 3. Решить уравнение x2— х = 0.
Как решаем:
Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители
х(х — 1) = 0
х₁ = 0, х₂ = 1
Ответ: два корня 0 и 1.
Пример 4. Решить уравнение x2— 10 = 39.
Как решаем:
Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую
x2— 10 = 39
x2= 39 + 10
x2= 49
х = ±√49
х₁ = 7, х₂ = −7
Ответ: два корня 7 и −7.
Пример 5. Решить уравнение 3x2— 4x+94 = 0.
Как решаем:
Найдем дискриминант по формуле
D = (-4)2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112
Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.
Ответ: корней нет.