1. В ящике a белых, b черных, c синих шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: 1) белый, 2) черный, 3) синий, 4) белый или черный, 5) белый или синий, 6) синий или черный.
2. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; а вторым – 0,75. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того, что один из них попадет в цель, а другой не попадет?
3. Вероятность того, что в южном городе N температура в июле в любой день меньше 
равна a (a – малое положительное число, второй степенью которого можно пренебречь). Какова вероятность того, что в течение первых трех дней июля температура будет не меньше ? Решить задачу при a=0,001.
4. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара. Во втором ящике 2 белых, 6 красных, 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих?
5. Вероятность того, что в течение дня произойдет неполадка станка, равна 0,03. Какова вероятность того, что в течение 4-х дней подряд не произойдет ни одной неполадки?
6. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность (если считать выбор случайным), что выбраны:
1) 2 мальчика, 2) 2 девочки, 3) мальчик и девочка?
7. Производят 3 выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов произойдет только одно попадание.
8. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадет гербом вверх?
9. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх не более трех раз?
10. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших были 2 мальчика и одна девочка?
11. В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть 2 белых и 2 черных шара?
12. Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном, взятом наудачу ящике, детали окажутся стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.
13. Первый рабочий за смену может изготовить 120 изделий, а второй – 140 изделий, причем вероятность того, что эти изделия высшего сорта, составляют соответственно 0,94 и 0,8. Определить наивероятнейшее число изделий высшего сорта, изготовленных каждым рабочим.
14. В первом ящике 5 белых и 10 черных шаров, во втором – 3 белых и 7 черных шаров. Из второго ящика в первый переложили один шар, а затем из первого ящика вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый.
15. В первом ящике 1 белый и 2 черных шара, во втором – 100 белых и 100 черных шаров. Из второго ящика в первый переложили один шар, а затем из первого ящика вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар ранее находился во втором ящике, если известно, что он белый.
*Схема Бернулли. Формула Пуассона.
Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа [21]
1. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти: 1) вероятности возможного числа появлений бракованных деталей среди 5 отобранных; 2) наивероятнейшее число появлений бракованных деталей среди отобранных.
2. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений тройки было равно 10?
3. На факультете насчитывается 1 825 студентов. Какова вероятность, что 1 сентября является днем рождения одновременно 4-х студентов факультета?
4. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти: 1) вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники; 2) вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) из 400 имеют холодильники; 3) вероятность того, что от 280 до 360 семей из 400 имеют холодильники.
5. В среднем 20 % пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене: 1) не будут проданы 5 пакетов; 2) будет продано: а) менее 2-х пакетов; б) не более 2-х пакетов; в) хотя бы 2 пакета; 3) наивероятнейшее число пакетов.
6. Завод отправил на базу 10 000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке составляет 0,02 %. Найти вероятность того, что из 10 000 изделий: 1) будет повреждено: а) 3; б) по крайней мере 3; 2) не будет повреждено: а) 9 997; б) хотя бы 9 997.
7. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1 000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) наивероятнейшее число предприятий; в) не менее 480; г) от 480 до 520.
8. В страховой компании 10 000 клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов составляет 0,5 %, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 000 руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с вероятностью 95 %?
9. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2. Найти вероятность того, что из 6 малых предприятий за время t сохранятся:
а) 2; б) более 2-х.
10. В среднем по 15 % договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 10 договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы:
а) 3 договора; б) менее 2-х договоров.
11. Предполагается, что 10 % открывающихся вновь малых предприятий прекращает свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из 6 малых предприятий не более 2-х в течение года прекратят свою деятельность?
12. В банк отправлено 4 000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено:
а) 3 ошибочно укомплектованных пакета; б) не более 3-х пакетов.
13. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из 2 000 следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 000 листков число заказов будет:
а) равно 48; б) находиться в границах от 45 до 55.
14. Учебник издан тиражом 10 000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что:
а) тираж содержит 5 бракованных книг; б) по крайней мере 9 998 книг сброшюрованы правильно.
15. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
16. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеет уставный фонд свыше 100 млн руб. Найти вероятность того, что из 1 800 банков имеют уставный фонд свыше 100 млн руб.:
а) не менее 300; б) от 300 до 400 включительно.
Тема 25. Дискретные случайные величины,
их числовые характеристики и законы распределения
Определение 1. Если каждому элементарному событию 
из некоторого множества 
можно поставить в соответствие определенную величину 
, то говорят, что задана случайная величина.
Определение 2. Если значения, которые может принимать данная случайная величина Х, образуют дискретный (конечный или бесконечный) ряд чисел 
, 
, …, 
, …, то случайную величину Х называют дискретной.
Определение 3. Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называют законом распределения случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины обычно задают рядом распределения
|
|
| 
| … |
|
| 
| 
| 
| … | 
|
При этом 
, где суммирование распространяется на все (конечное или бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины Х.
Определение 4. В прямоугольной системе координат 
отметим точки 
и соединим их последовательно ломаными отрезками. Полученную ломаная называют многоугольником (полигоном) распределения случайной величины Х.
Определение 5. Функцию 
называют функцией распределения вероятностей случайной величины Х.
Определение 6. Математическим ожиданием 
дискретной случайной величины называют сумму произведений значений случайной величины на вероятности этих значений. Если дискретная случайная величина задана конечным рядом распределения, то математическое ожидание вычисляют по формуле 
.
Определение 7. Дисперсией 
случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: 
. Если дискретная случайная величина задана конечным рядом распределения, то ее дисперсию вычисляют по одной из формул: 
или 
.
Определение 8. Средним квадратичным отклонением (СКО) случайной величины Х называют величину 
.
Определение 9. Модой дискретной случайной величины Х называют ее наиболее вероятное значение. Геометрически мода является абсциссой той точки полигона распределения, ордината которой максимальна.
Определение 10. Если вероятность наступления случайного события в каждом испытании равна 
, то вероятность того, что случайное событие появится в этих 
испытаниях ровно 
раз, выражается формулой Бернулли 
.