Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x ² − 2 x − 3 = 0;

2. 15 − 2 x − x ² = 0;

3. x ² + 12 x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x ² − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

 

 

Материал предоставил: Чжен Д.

СПОСОБЫРЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Решение уравнений с помощью теоремы Виета.

 

МАТЕРИАЛ ПРЕДОСТАВИЛ: СИСЕКЕНОВ С.

 

СПОСОБЫРЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Решение квадратных уравнений способом переброски.

Рассмотрим квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а² х² + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

у² + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₁ = и х₁ = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

 

Примеры:

Решим уравнение 2х² – 11х + 15 = 0.

 

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у² – 11 y + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

 

 

Ответ: 2,5;3.

 

Материал предоставил: Янюшкина П.

 

СПОСОБЫРЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Свойство 1
Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то
x1 = 1, x2 = c/a

Свойство 2
Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a
Пример:
341x2 + 290x - 51 = 0
Решение:
Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.
Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию
свойства 2
341 - 51 = 290. Получим а + с = b. Следовательно, мы
можем воспользоваться свойством 2.
x1 = -1 и х2 = 51/341
Ответ: -1; 51/341.

Свойство 3
Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0. Коэффициент b представлен в виде 2k, т.е. является четным числом, то формулу корней уравнения можно переписать в более простом виде
D = (b/2)2 + a*c

Пример:
3x2 + 2,2x - 0,16 = 0
Решение:
Коэффициент b = 2,2
D = 1,12 + 3 * (-0,16) = 1,69
x1,2 = (-1,1 ± 1,3)/3

 

Материал предоставил: ШалавИл ВшиПолякоСов

 

СПОСОБЫРЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Геометрический способ решения квадратных уравнений

 

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.

 

 

Решить геометрически уравнения у² – 6у – 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у² – 6у = 16.

 

На рис. находим «изображения» выражения у² – 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3.

Значит, если к выражению у² – 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у – 3. Заменяя выражение у² – 6у равным ему числом, получаем: (у – 3)² = 16 +9, т.е. у – 3 = ± или у – 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = – 2.

 

Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.
1)Неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент c=0, то есть уравнение имеет вид ax²+bx=0. Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
2)Неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0). Если знаки a и c — разные, уравнение имеет два корня.
3)Неполные уравнения, в которых коэффициенты b=0 и c=0, то есть уравнение имеет вид ax²=0. Уравнение такого рода имеет единственный корень x=0

 

 

Материал предоставил: Иванова П.

 

Дидактические материалы

1. Решите квадратное уравнение, разлагая его левую часть на множители:

 

а) х² – х = 0;

б) х² + 2х = 0;

в) 3 х² – 3х = 0

 

 

2. Решите уравнения по формуле:

 

а) 2х² – 5х + 2= 0

б) 6х² + 5х + 1=0

в) 3х² – 7х – 1 = 0

 

 

3. Решите уравнения, используя метод «переброски»:

 

1. 2х² – 9х +9 = 0

2. 3х² +11х +6 = 0

3. 4х² +12х + 5 = 0

 

5. Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:

 

1. 5х² – 7х + 2 = 0

2. 3х² + 5х – 8 = 0

3. 11х² + 25х – 36 = 0

 

6.Решите графически уравнения:

 

1) х² – х – 6 = 0;

 

2) х² – 4х + 4 = 0
3) х² + 4х +6 = 0;

1.

ЛИТЕРАТУРА

https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-po-teme-reshenie-kvadratnih-uravneniy-razlichnimi-sposobami-571792.html

https://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/kvadratnoe-uravnenie.html

https://multiurok.ru/files/issledovatelskaia-rabota-10-sposobov-resheniia-kva.html

https://www.berdov.com/docs/equation/quadratic_equations

https://kvadur.info

Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы:

Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988

Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982

Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденей школы. – м., просвещение, 1990

Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972

Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.

Дидактические материалы по алгебре.