Задача № 1
Какова будет численность населения России в начале третьего тысячелетия?
Сразу ясно, что задачу не решить, если не знать, как со временем будет меняться численность населения России, т. е. необходимо иметь функцию, выражающую зависимость численности населения от времени. Обозначим эту функцию f (t). Но такая функция не известна, так как народонаселение зависит от многих факторов: экологии, состояния медицинского обслуживания, морали, права и даже от политической обстановки. Но, обобщив демографические данные, можно указать общий вид функции f (t):
f (t) = a x ebxt,
где коэффициенты a, b - свои для каждого государства, e - основание натурального алгоритма.
Эта формула лишь приближенно отражает реальность. Однако слишком большая точность и не нужна. Хорошо, если численность населения будет спрогнозирована с точностью до десятков миллионов.
Как же определить a и b? Идея состоит в следующем: хотя a и b неизвестны, значение функции f (t) можно получить из статистического справочника. Зная t и f(t), можно приближенно подобрать a и b так, чтобы теоретические значения f(t), вычисленные по формуле (1), не сильно отличались от данных справочника (т. е. максимальное отклонение теоретических результатов от фактических данных не должно быть слишком большим.). Каждое из отклонений - это модуль разности двух чисел: фактического и соответствующего теоретического значений f(t). Максимальное отклонение называют погрешностью. Необходимо найти такие a и b, чтобы погрешность была наименьшей.
Итак, математическая модель процесса изменения численности населения такова.
Предполагается, что:
1) зависимость численности населения от времени выражается формулой
f (t) = a x e bxt;
2) a = const и b = const следует считать справедливым лишь для не очень большого промежутка времени (например, 40 лет);
3) значения a и b можно найти с достаточной точностью, минимизировав погрешность.
Исходные данные: сведения из статистического справочника за период с 1960 по 1995 г. (60<=t<=95).
Результаты:
1) значения a и b
2) численность населения России в 2000г. (t=1)
Кроме того, установлена связь между исходными данными и результатами: сначала надо найти a и b, минимизируя погрешность, а затем при этом a и b вычислить значение f(1).
Итак, математическая модель составлена. Использование электронной таблицы освобождает от составления программы. Нужно только определенным образом записать в таблицу исходные данные и математические соотношения, входящие в модель. После этого можно начать процесс численного моделирования исследуемой ситуации, т. е. подбор коэффициентов a и b в формуле (1), а затем определение численности населения.
Ход работы
Задание 1. Заполните таблицу (см. рис. 7.1).
Сделайте заголовок.
Заполните шапку таблицы.
Столбцы А и В отведите под коэффициенты a и b соответственно.
Коэффициенты a и b не изменяются с течением времени, значит во всех ячейках столбцов А и В должны быть записаны одни и те же числа.
Рис. 7. 1.
В столбец С занесите значения t с 1960 г.
В столбец D занесите взятые из справочника значения численности населения России (с 1960 г.).
1.6. В столбец Е занесите формулу = A * EXP(B*С).
1.7. В столбец F занесите формулу = ABS(E-D).
Это модуль разности теоретического и фактического значений функции f.
Для подсчета максимальной погрешности по столбцу F в любую свободную ячейку этого столбца введите функцию max.
Всякий раз после пересчета чисел в столбце F в этой клетке будет записано максимальное из чисел этого столбца.
Задание 2. Подберите коэффициенты а и b.
Поместите в столбцы А и В какие-нибудь числа. При этом заполнятся столбцы Е и F, причем погрешность появившаяся в ячейках столбца F, скорее всего очень велика. Попробуйте поменять коэффициенты а и b так, чтобы погрешность уменьшилась. Для этого постарайтесь составить алгоритм поиска а и b. В составлении этого алгоритма вам поможет анализ формулы (1).
Задание 3. Определите численность населения Росси в 2000 г.
Сделав погрешность малой (на ваш взгляд), подставьте в свободную ячейку столбца С число 100. В соответствующей ячейке столбца Е появится искомое число.
Задание 4. Постройте графики
Постройте на одной диаграмме 2 графика роста численности населения: на основе статистических и теоретических данных (по формуле (1) с подобранными вами коэффициентами a и b).
Разместите диаграмму на одном листе с таблицей.
4.3. Примерный вид графиков показан на рис. 7. 2. Оформите диаграмму в соответствии с рис. 7. 2.
 |
Рис. 7. 2.
Задание 5. Оформите таблицу на свой вкус (обрамление, заполнение, шрифты).
Задание 6. Воспользуйтесь режимом предварительного просмотра для печати.