Задача 1.
Всякое натуральное число представимо в виде: 
, где 
. Приведите явные формулы для l и m как функций от n.
Решение:
Тогда 
Ответ: 
, 
.
Задача 2.
Как выглядит формула для ближайшего целого к заданному вещественному числу x? В случае «равновесия» — когда x лежит ровно посередине между целыми числами — приведите выражение, округляющее результат:
a) в сторону увеличения, т.е. до é x ù;
b) в сторону уменьшения, т.е. до ë x û.
Решение:
Пусть вещественное число 
округляется до 
.
a) В этом случае до округляются числа , удовлетворяющие неравенству:
Û 
(по свойству (4)).
b) В этом случае до округляются числа , удовлетворяющие неравенству:
Û 
(по свойству (4)).
Ответ: a) 
; b) 
Задача 3.
Вычислите 
, если m и n — натуральные числа, а 
— иррациональное число, большее n.
Решение:
= 
= 
= 
= = 
(так как 
и 
).
Ответ: 
.
Задача 4.
Докажите, что 
.
Доказательство:
.
Отсюда 
, так как n — натуральное число.
Итак, 
. Что и требовалось доказать.
Задача 5.
Доказать, что если f (x) — непрерывная, монотонно убывающая функция и f (x) — целое Þ x — целое, тогда 
.
Доказательство:
1 случай: если 
, то 
.
2 случай: если 
, то 
, так как f – убывающая функция; 
(в силу того, что функция «пол» — неубывающая).
Если 
, то существует такое число 
, что 
и 
(так как f непрерывна). Поскольку f (y) целое, то по условию 
целое. А это противоречит тому, что между x и é x ù не может быть никакого целого числа. Следовательно, .
Что и требовалось доказать.
Задача 6.
Решите рекуррентность при целом 
при 
,
при 
.
Решение:
Покажем, что 
методом математической индукции по .
База: 
: из того, что , следует, что 
, тогда 
и 
, поэтому для выполняется 
.
Переход: пусть для некоторого номера и для меньших номеров утверждение верно: 
.
Докажем, что 
.
= 
.
Что и требовалось доказать.
Задача 7.
Докажите принцип ящиков Дирихле: если n предметов размещены по m ящикам, то некоторый ящик должен содержать не меньше чем é n/m ù предметов, а некоторый ящик должен содержать не более чем ë n/m û.
Решение:
Предположим, что каждый ящик содержит меньше, чем é n/m ù предметов. Тогда наибольшее количество предметов в каждом ящике — это 
предметов. Следовательно, наибольшее количество предметов, размещённых по ящикам — это 
Þ 
Þ 
. Это противоречит тому, что 
.
Значит, существует ящик, который содержит не менее чем é n/m ù предметов.
Предположим, что нет ящика, в котором не более, чем ë n/m û предметов, т.е. каждый ящик содержит более чем ë n/m û предметов. Тогда наименьшее количество предметов в каждом ящике — 
. Следовательно, наименьшее количество предметов, размещённых по ящикам — это 
Þ 
Þ 
. Это противоречит тому, что 
.
Значит, существует ящик, который содержит не более чем ë n/m û предметов.
Что и требовалось доказать.
Задача 8.
Покажите, что выражение 
всегда равно либо ë x û, либо é x ù. При каких условиях получается тот или иной случай?
Решение:
1 случай: x = (4 k- 1)/2, k ÎZ
Тогда 
, так как 
- целое число.
Получим 
= 
= 
= 
= 
2 случай: x ¹ (4 k -1)/2, k Î Z, тогда 
.
Получим = 
= 
Итак, данное выражение округляет числа до ближайшего целого; в случае «равновесия» — когда x лежит ровно посередине между целыми числами — данное выражение округляет число в сторону чётного.
Задача 9.
Докажите, что 
при любом целом n и любом целом положительном m.
Доказательство:
Пусть 
.
Покажем, что 
.
Имеем Û
Û 
(по свойствам (4)) Û
Û 
Û
Û 
Û
Û 
Û
Û 
Û
Û 
Что и требовалось доказать.
Задача 10.
Пусть α и β — вещественные положительные числа. Докажите, что Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел тогда и только тогда, когда α и β иррациональны и 
.
Решение:
Пусть α и β — вещественные положительные числа.
Докажем, что если Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел, то α и β — иррациональные числа и 
.
Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел, тогда 
.
Þ
Þ 
Þ
Þ 
Þ
Þ 
Þ
Þ 
Рассмотрим 
Þ
Þ .
Докажем, что α и β иррациональны. Так как 
, то числа α и β либо оба рациональны, либо оба иррациональны.
Если α и β оба рациональны, т.е. существует такое целое число m, что 
и 
, где 
и 
— натуральные числа, тогда 
ÎSpec(α) и 
ÎSpec(β).
Но никакое число не содержится одновременно в двух спектрах, образующих разбиение всех целых положительных чисел. Следовательно, α и β — иррациональны.
Докажем обратное: если α и β иррациональны и , то Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел.
Þ 
Так как 
и 
— иррациональны, то 
и 
— не целые числа, то
и
Отсюда получаем:
(так как 
и и 
— иррациональны, то 
).
Получаем, что 
. Отсюда Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех натуральных чисел.
Что и требовалось доказать.
Задача 11.
Докажите, что 
при целом n.
Доказательство:
· если 
(
или 
), то 
,
тогда 
.
Получаем верное равенство 
.
· если 
, тогда 
.
Правая часть имеет вид: 
.
Преобразуем левую часть:
.
Получили, что 
при любом целом 
. Что и требовалось доказать.
Задача 12.
Имеется ли аналогичное (16) тождество, в котором вместо «полов» используются «потолки»?
Решение:
Тождество (16) 
получается из тождества (15) 
заменой n на ë mx û.
Аналогичное тождество для потолков получается из тождества (14) 
заменой n на é mx ù:
é mx ù = 
=
= 
= 
Итак, получили тождество аналогичное данному:
é mx ù = 
.
Задача 13.
Докажите, что 
. Найдите и докажите аналогичное выражение для 
вида 
, где ω – комплексное число 
.
Доказательство:
При делении числа на 2 возможны только два различных остатка: либо 0, либо 1.
· если 
, то 
и 
.
· если 
, 
и 
.
Следовательно, равенство 
верно для любого натурального n. Что и требовалось доказать.
Найдём аналогичное выражение для 
, т.е. найдём коэффициенты a, b, c.
Поскольку 
— есть корень третьей степени из 1, то 
и 
.
Так как 
, то 
.
При делении числа на 3 возможны только три различных остатка: либо 0, либо 1, либо 2.
Если 
, то 
.
Если 
, то 
.
Если 
, то 
.
Решая систему 
, находим a, b, c.
, 
, 
.
Итак, получаем следующую формулу:
.
Задача 14.
Какому необходимому и достаточному условию должно удовлетворять вещественное число 
, чтобы равенство 
выполнялось при любом вещественном 
?
Решение:
При любом вещественном и 
равенство 
выполняется Û b — целое число.
Если b — целое число, то функция 
непрерывная, возрастающая функция (так как ). Пусть 
— целое число, т.е. 
. Тогда 
, так как и . Выражая 
через 
, получим 
— целое, как натуральное число в неотрицательной целой степени. Поэтому можно применить формулу (6) и получить равенство 
.
Если b — не целое число, то при 
равенство 
не будет выполняться, так как 
Итак, если 
, то равенство 
выполняется при любом вещественном тогда и только тогда, когда b — целое число.
Ответ: b — целое число.
Задача 15.
Найдите сумму всех чисел, кратных x, в замкнутом интервале [ a, b ], при 
.
Решение:
Числа, кратные имеют вид 
, где 
. Нужно просуммировать те из чисел , для которых 
. Учитывая, что и (4), имеем
Û 
Û 
.
Нам нужно вычислить следующую сумму:
.
В этой сумме 
можно вынести за скобки, а в скобке останется сумма всех чисел от 
до 
включительно. Применяя формулу арифметической прогрессии получаем:
.
Задача 16.
Покажите, что n -й член последовательности 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,… равен 
. (Каждое число m входит в данную последовательность m раз.)
Решение:
В этой последовательности чисел меньших 
будет 
, а чисел не превосходящих 
будет 
. Поэтому, если xn=m, то
Оценим n:
Û
Û 
Û
Û 
Û
Û 
Û
Û 
Û
Û 
Û
Û 
Þ
Þ 
.
Следовательно, 
.
Задача 17.
Найдите и докажите связь между мультимножествами Spec(α) и Spec(α /(α +1)), где α — некоторое положительное вещественное число.
Решение:
Число элементов в Spec(α), которые не превосходят n:
.
Число элементов в Spec(α /(α +1)), которые не превосходят n:
.
Итак, получили, что 
.
Покажем на основе этого, что чисел равных 
в Spec 
будет на 1 больше, чем в Spec(
).
При 
если 
, тогда 
.
Пусть в Spec(
) элементов не превосходящих 
будет 
, тогда число элементов в Spec() равных будет 
. Подсчитаем количество элементов в Spec 
равных 
:
Что и требовалось доказать.
Ответ: чисел равных в Spec будет на 1 больше, чем в Spec(
).
Задача 18.
На шахматной доске 
клеток симметрично начерчена окружность с диаметром 
единиц. Через сколько клеток доски проходит данная окружность?
Решение:
Радиус окружности равен 
.
Горизонтальных прямых, не являющихся сторонами квадрата — (
).
Вертикальных прямых, не являющихся сторонами квадрата — ().
Окружность каждую из указанных прямых пересекает в двух точках. Она не проходит через углы клеток. Действительно, если предположить, что данная окружность проходит через какой-нибудь угол клетки, то существуют такие целые числа 
и 
, для которых выполняется теорема Пифагора: 
, но 
— целое число, а 
— не целое. Получили противоречие. Следовательно, окружность не проходит через углы клеток.
Каждую клетку окружность пересекает в двух точках, а каждая точка пересечения принадлежит двум клеткам. Следовательно, окружность проходит через столько клеток доски, сколько имеется точек пересечения её с прямыми: 
.
Ответ: 
клеток.
Задача 19.
Говорят, что f (x) является репликативной функцией, если
f (
) = f () + f 
+ … + f 
при каждом целом положительном m. Укажите, какому необходимому и достаточному условию должно удовлетворять вещественное число c, чтобы функция f (x) = x + c являлась репликативной.
Решение:
f (x) = x + c — репликативна Û
Û 
Û
Û 
Û
Û 
= 0 Û 
.
Ответ: .
Литература
Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник. Конкретная математика. М.: «Мир» 1998. С 88 - 124.