Разложение функций в степенной ряд

Лекции 33,34. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд (4ч)

Содержание лекции:

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функции в степенной ряд, необходимое, достаточные условия. Приложения степенных рядов. Примеры.

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций. Приближенное вычисление значений функции с помощью степенных рядов.

Ряд Тейлора и Маклорена

Пусть дана функция f (x), непрерывная на некотором множестве D и х ₀Î D. Если $ сходящийся степенной ряд такой, что сумма этого ряда совпадает с f (x) в некоторой окрестности точки х ₀,, т.е.

= f (x),

то говорят, что функция f (x) разлагается в степенной ряд в окрестности точке х ₀ (или в ряд по степеням х – х ₀).

Теорема 2.

Если функция f (x) разлагается в ряд по степеням (х – х ₀), то коэффициенты этого ряда равны .

Доказательство. Пусть в окрестности х ₀ справедливо разложение

f (x) = а ₀ + а ₁(х – х ₀) + а ₂(х – х ₀)² + а ₃(х – х ₀)³+ а ₄(х – х ₀)⁴ +... (3)

Положим в этом равенстве х = х ₀, получим а ₀ = f (x ₀).

Так как ряд в окрестности х ₀ сходится, то его можно дифференцировать. Продифференцируем равенство (3) п раз, получим

f¢ (x) = а ₁ +2 а ₂(х – х ₀) + 3 а ₃(х – х ₀)² + 4 а ₄(х – х ₀)³ +...,

f¢¢ (x) = 2 а ₂+ 6 а ₃(х – х ₀)+12 а ₄(х – х ₀)² +...,

f¢¢¢ (x) = 6 а ₃+ 24 а ₄(х – х ₀) +...,

..........................

f ^(п)(x) = п (п –1)(п –2)...2 а_п + (п +1) п (п– 1)...2 а_п ₊₁(х – х ₀) +...

Полагая в этих равенствах х = х ₀, получим

f¢ (x ₀) = а ₁, или а ₁= f¢ (x ₀),

f¢¢ (x ₀) = 2 а ₂, откуда ,

f¢¢¢ (x ₀) = 6 а ₃, откуда ,

.............

f ^(п)(x ₀) = п (п –1)(п –2)...2 а_п, откуда . ЧТД.

Определение 1. Степенной ряд называется рядом Тейлора в точке х ₀ для функции f (x), а коэффициенты этого ряда называются коэффициентами Тейлора для функции f (x).

Из теоремы 7.2. следует:

1) если функция f (x) разлагается в степенной ряд в окрестности точки х ₀, то это есть обязательно ряд Тейлора этой функции:

f (x) = .

2) Если функция f (x) разложима в степенной ряд в окрестности точки х ₀, то она бесконечное число раз дифференцируема в этой окрестности (это свойство называют необходимым условием разложимости в степенной ряд).

Теорема 7.2. формулирует необходимое, но не достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Т.е. нельзя утверждать, что ряд Тейлора, формально составленный для функции f (x), сходится обязательно к этой функции.

Например, функция бесконечно дифференцируема в окрестности нуля, но ее ряд Тейлора имеет совершенно другую сумму.

Достаточные условия сходимости ряда Тейлора к самой функции (т.е. разложимости функции в степенной ряд) дает следующая

Теорема 3.

Для того чтобы функция f (x) могла быть разложена в степенной ряд (ряд Тейлора) в окрестности U(x ₀) точки х ₀, необходимо и достаточно, чтобы остаток этого ряда стремился к нулю при п ®¥ " х из этой окрестности, т.е.

f (x) = Û

для всех х ÎU(x ₀).

При этом исследование поведения остатка ряда удобно проводить, используя различные формы записи остатка ряда, в частности форму Лагранжа:

где x – некоторое число, удовлетворяющее условию 0 < |x – x ₀| < | x – x ₀|, т.е. число x расположено между х и х ₀.

Определение 2.

Функция, которая на некотором интервале может быть представлена своим сходящимся рядом Тейлора, называется аналитической на этом интервале.

Из определения следует, что сумма сходящегося степенного ряда есть аналитическая функция в интервале сходимости ряда.

Разложение функций в степенной ряд

Вопрос представления функции многочленом Тейлора мы рассматривали еще в первом семестре. Естественно поставить вопрос разложения функции в степенной ряд. Учитывая предыдущую информацию, можно определить следующий алгоритм разложения функции f(x) в степенной ряд в окрестности заданной точки х ₀:

1. Найти производные заданной функции до п -го порядка включительно (т.е. записать формулу для f ^(п)(x)) и вычислить их значения в точке х ₀.

2. Записать формально ряд Тейлора для f (x).

3. Найти область сходимости этого ряда.

4. Выяснить, для каких х из области сходимости ряда выполняется условие 0

Пример 1. Разложим функцию е^х в ряд в окрестности точки х = 0 (ряд Тейлора с центром в точке х = 0 называется рядом Маклорена). Будем пользоваться сформулированным алгоритмом.

1. Очевидно, f ^(п)(x) = е^х, тогда f ^(п)(0) = 1

2. ряд Тейлора имеет вид

3. Радиус сходимости этого ряда найдем, используя формулу . Так как , то , значит, ряд сходится на всей числовой прямой.

4. Изучим поведение остатка ряда. Запишем остаток ряда в форме Лагранжа:

à , где 0 < |x| < | x |. Заметим, что здесь – некоторое (конечное) число, а – (п +1)-й член рассмотренного ряда Тейлора, а так как ряд сходится " х, то его п -й член (а значит и п +1-й) стремится к 0 при возрастании п. Тогда

" х.

Значит, е^х = , х Î R.

Пример 2. Разложим в ряд Маклорена функцию f (x) = sin x. Имеем:

f (x) = sin x, f (0) = 0

f¢ (x) = cos x = sin , f ¢(0) = 1

f¢¢ (x) = –sin x = sin (x + p), f ¢¢(0) = 0

f¢¢¢ (x) = –cos x = sin , f ¢¢¢(0) = –1

f ^IV(x) = sin x = sin (x + 2p), f ^IV(0) = 0,

.....................

f ⁽ⁿ⁾(x) = sin , f ^{(2 k)}(0) = 0, f ^{(2 k –1)}(0) = (–1) ^k ⁺¹.

Тогда ряд Тейлора имеет вид

Найдем область сходимости этого ряда:

< 1" х

Значит, область сходимости – вся числовая прямая.

Остаток ряда в форме Лагранжа имеет вид

Тогда | R_n (x)| = и

, значит " х.

Таким образом, " х Î R.

Учитывая свойства степенных рядов, находим, продифференцировав полученное разложение:

То есть имеем разложение cos x = , " х Î R.

Ранее мы получили разложения

, | x |< 1, и , х Î(-1; 1].

Если в первом из этих равенств положить х = t ², получим

, или, в привычных символах, , х Î(-1; 1).

Проинтегрировав последнее равенство, получим

, т.е.

, х Î(-1; 1).

Заметим, что в граничных точках полученный ряд сходится условно:

при х = –1 имеем , а при х = 1 получаем ; оба эти ряда сходятся по признаку Лейбница (проверьте!). Ряд из модулей членов этих рядов один и тот же и он расходится, что можно без труда доказать, пользуясь интегральным признаком. Тот факт, что данные ряды сходятся соответственно к arctg(–1) = и arctg1 = мы сможем доказать позже, изучив тригонометрические ряды. Итак, , х Î[-1; 1].

Пользуясь вышеописанным алгоритмом можно получить следующее разложение

, х Î(-1,1).

Таким образом, мы имеем перечень известных разложений:

I. е^х = , х Î R

II. " х Î R

III. cos x = , " х Î R.

IV. , | x |< 1,

V. , | x |< 1.

VI. , х Î(-1; 1].

VII. , х Î[-1; 1].

VIII. , | x | < 1

Как следует из рассмотренных примеров, разложение в ряд заданной функции можно осуществить двумя способами: по определению (т.е. пользуясь описанным алгоритмом) и пользуясь известными разложениями, делая разного рода подстановки, дифференцируя или интегрируя ряд почленно.

Рассмотрим другие примеры разложений.

Пример 3. Разложить заданные функции по степеням х

1) ,