Треугольники
Основные понятия.
Треугольник – это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой.
Отрезки называются сторонами, а точки – вершинами.
| Любая сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше их разности. a – b < c < a + b |
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины к противолежащей стороне (рис.1).
Биссектриса треугольника – это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.2).
Медиана треугольника.
| Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.3). Длину медианы можно вычислить по формуле: 2b2 + 2c2 – a2 ma2 = —————— 4 где ma – медиана, проведенная к стороне а. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: c mc = — 2 где mc – медиана, проведенная к гипотенузе c (рис.6) Медианы треугольника пересекаются в одной точке (в центре масс треугольника) и делятся этой точкой в соотношении 2:1, отсчитывая от вершины. То есть отрезок от вершины к центру в два раза больше отрезка от центра к стороне треугольника. Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. |
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна ее половине (рис.4).
Сумма углов треугольника равна 180º.
Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.5).
Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла.
Прямоугольный треугольник.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.7).
Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Две другие стороны называются катетами.
Равнобедренный треугольник.
Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны (рис.8).
Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья – основанием треугольника.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C).
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника.
Равносторонний треугольник.
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны (рис.9).
Свойства равностороннего треугольника:
| 1) все углы равны 60º; 2) медианы, биссектрисы и высоты совпадают; 3) медианы, биссектрисы и высоты соединяют вершины с серединами противолежащих сторон. |
Замечательные свойства треугольников
У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:
| 1) В прямоугольном треугольнике с углами 90º, 30º и 60º катет b, лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы. А катет a больше катета b в √3 раз (рис.6). К примеру, если катет b равен 5, то гипотенуза c обязательно равна 10, а катет а равен 5√3. 2) В прямоугольном равнобедренном треугольнике с углами 90º, 45º и 45º гипотенуза в √2 раз больше катета (рис.6). К примеру, если катеты равны 5, то гипотенуза равна 5√2. 3) Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны (рис.4). К примеру, если сторона треугольника равна 10, то параллельная ей средняя линия равна 5. 4) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (рис.7): mc = с/2. 5) Медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся этой точкой в соотношении 2:1. То есть отрезок от вершины к точке пересечения медиан в два раза больше отрезка от точки пересечения медиан к стороне треугольника (рис.3) |
Признаки равенства треугольников.
Первый признак равенства: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства: если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства: если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.