Аппроксимации характеристик нелинейных элементов для мгновенных значений
Основные вопросы
1. Суть метода кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных элементов для мгновенных значений.
2. Использование для расчета нелинейных цепей аналитической аппроксимации характеристик нелинейных элементов для мгновенных значений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил Л.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. – М.: Энергия, 1989. – § 22.6, 25.4, 25.5.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1978. – § 15.12, 15.20, 15.46, 15.51, 15.52.
3. Бессонов Л.А. Нелинейные электрические цепи. – М.: Высшая школа, 1978. – § 5.1, 5.2, 8.21.
ПРИМЕРЫ
Задача 1
В цепи (рис. а) e (t) = 100sin1000 t B; r 1 = r 2 = 1 кОм; кулонвольтная характеристика q c(u c) нелинейного конденсатора представлена на рис. б; q 0 = 10–5 К.
Рассчитать и построить q (t), u C(t), i (t).
Решение
1. Нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие цепь (см. рис. а):
i = i r + i c; (1)
e = ir 1 + u C; (2)
u C = irr 2; (3)
. (4)
2. Кулонвольтная характеристика q c(u c) нелинейного конденсатора (см. рис. б) представляет собой петлю гистерезиса с относительно малой площадью. Для упрощения расчета она может быть аппроксимирована ломаной dabc (рис. в). Это дает возможность для каждого из участков da, ab и bc получить решение уравнений (1) – (4) методами линейной электротехники.
На участке da (рис. в) q = const. Следовательно, 
. Для точки a этого участка (см. аппроксимированную кулонвольтную характеристику) u C = 0. Из уравнений (1) – (3) для этой же точки имеем: ir = 0; i = 0; e (t) = 100sinw t = u C = 0.
Отсюда вытекает, что точка a соответствует моменту времени t = 0. Кроме того, в силу периодичности режима работы цепи и симметрии характеристики dabc (рис. в) относительно начала координат расчет может быть выполнен за половину периода, т.е. для времени 0 £ t £ T /2. Изменение заряда q в этом интервале времени определяется участком abcb аппроксимированной характеристики (рис. в), что соответствует участку acb исходной характеристики (см. рис. б).
3. Определение q (t), u C(t), i (t).
· На участке ab (0 £ t £ t 1) u C = 0, - q 0 £ q £ +q 0. Из уравнений (1) – (4) для этого участка получим: 
; 
(А); i с = i = 0,1sinw t A;
(К). (5)
· На участке bc ¸ cb (t 1 £ t £ T /2) q = +q 0 = const. Из уравнений (1) – (4) для этого участка имеем: 
;
;
u C = i r r 2 = 1000×0,05sinw t = 50sinw t (В).
· Определение постоянной интегрирования С 1 и момента времени t 1 перехода рабочей точки режима с участка ab на участок bc характеристики (см. рис. в).
В точке а (t = 0) q = - q 0 = –10–5 К. Соотношение (5) для этого момента времени принимает вид:
–10–5 = –10–4 cos(0) + C 1. (6)
Из (6) вытекает С 1 = 10–4 – 10–5 = 9×10–5 К. В точке b (t = t 1) q = + q 0 = 10–5 К.
Из соотношения (5) для момента времени t 1 (с учетом найденного значения постоянной интегрирования С1) следует:
10–5 = –10–4 cos(w t 1) + 9×10–5. (7)
Тождество (7) позволяет определить временной момент t 1 перехода рабочей точки с участка ab на участок bc характеристики (рис. в):
с.
4. Временне зависимости q (t), u C(t), i (t) представлены на рис. г.
Задача 2
В цепи (рис. а) ток источника электрической энергии i (t) = 4sinw t, где w = 1000 с–1. Линейное сопротивление r = 5 Ом. Вебер-амперная характеристика Y(i) нелинейной индуктивности аппроксимирована ломаной dcab (рис. б), Y0 = 10–2 Вб; I 0 = 2 А.
Рассчитать и построить Y(t), uL (t), uab (t).
Рис. к задаче 2
Решение
1. Графический расчет рассматриваемой цепи базируется на решении следующей системы нелинейных дифференциальных уравнений:
; (1)
. (2)
2. При t = 0 ток источника энергии i (0) = 4sin(0) = 0. Этому моменту времени соответствует точка 0 характеристики Y(i) нелинейного элемента (рис. б). Вебер-амперная характеристика Y(i) нелинейного элемента симметрична относительно начала координат. При периодическом изменении тока i (t) источника энергии в течение первой половины периода (в пределах которого i ³ 0) рабочая точка режима перемещается из точки 0 в точку b и обратно из точки b в точку 0 вдоль участков 0 a и ab (рис. б)вебер-амперной характеристики Y(i). В течение второй половины периода (в пределах которого i £ 0) рабочая точка режима перемещается из точки 0 в точку d и обратно из точки d в точку 0 вдоль участков 0 c и cd вебер-амперной характеристики Y(i). Поскольку, в пределах одного полупериода рабочая точка дважды перемещается вдоль участков характеристики 0 a и ab (или 0 c и cd),искомые временные зависимости Y(t), uL (t), uab (t) могут быть рассчитаны при рассмотрении лишь четверти периода, в пределах которого рабочая точка перемещается из точки 0 в точку b вдоль участков 0 a и ab.
3. Определение Y(t), uL (t), uab (t).
· На участке 0 a (0 £ t £ t 1) характеристика Y(i) представляется соотношением
Y = 
.
С учетом того, что i (t) = 4sin1000 t А,
Y(t) = 0,5×10–2 i (t) = 0,5×10–2×4sinw t = 0,02sinw t Вб. (3)
Напряжение на зажимах нелинейной индуктивности в рассматриваемом интервале времени (см. уравнение (2))
= w×0,02cosw t = 20cosw t В, а напряжение u ab на зажимах источника тока (см. уравнение (1))
u ab(t) = i (t) r + uL (t) = 5×4sinw t + 20cosw t = 20 
sin(w t + 45º) В.
· На участке ab (t 1 £ t £ T/2) характеристика Y(i) представляется выражением Y = Y0 = 10–2 Вб. Следовательно, в рассматриваемом диапазоне времени 
= 0, а напряжение на зажимах источника тока (см. уравнение (1)) u ab(t) = = i (t) r = 5×4sinw t = 20 sinw t В.
· Определение времени t 1 перехода рабочей точки с участка 0 a на участок ab вебер-амперной характеристики Y(i).
В точке a характеристики Y(i) (момент времени t 1) потокосцепление должно достигнуть значение Y(t1) = Y0 = 10–2 Вб. С учетом выражения (3),
Y(t1) = 0,02sinw t 1 = Y0 = 10–2 Вб. (4)
Из (4) следует
с.
· Характеристики Y(t), uL (t), uab (t) представлены на рис. в.
Задача 3
На рис. а изображена схема однополупериодного выпрямителя переменного тока. Напряжение источника u (t)= 115 sinw t В, где w = 314 с–1; Е 0 = 42 В; r =200 Ом. Вольт-амперная характеристика вентиля u в(i) представлена на рис. б.
Рассчитать и построить ur (t) и u в(t).
Решение
1. Нелинейное уравнение, описывающее работу цепи (см. рис. а),
ur (t) + u в(t) = u (t) – Е 0, (1)
где ur (t) = ri (t).
2. В момент времени t = 0 u (t) = 115 sinw t = 0 и, следовательно, i (t) = 0.
Из уравнения (1), для данного момента времени, следует u в = – Е 0 = – 42 В < 0. Таким образом, первым рабочим участком вольт-амперной характеристики u в(i) нелинейного элемента является участок c 0 (см. рис. б).
Рис. к задаче 3
· На участке c 0 (0 £ t £ t 1) i = 0 и, следовательно, ur = ri = 0. Из уравнения (1) вытекает
u в(t) = u (t) – Е 0 = 115 
sinw t – 42 В. (2)
Точка 0 вольт-амперной характеристики соответствует моменту времени t 1 перехода рабочей точки с участка с 0 на участок 0 а (рис. б). В этой точке u в(t 1) = 0. Тогда из уравнения (2) получим 0 = 115 sinw t 1 – 42 В, откуда
с = 0,833 мс.
Таким образом, в диапазоне времени 0 £ t £ t 1 = 0,833 мс
ur (t)=0; u в(t) = 115 sinw t – 42 В.
· На участке 0 а (t 1 £ t £ t 2)вольт-амперная характеристика вентиля представляется линейной зависимостью (рис. б)
. (3)
Из уравнения (1) с учетом (3) имеем:
u в(t) = u (t) – Е 0 - ur (t) = u (t) – Е 0 - ri (t) = u (t) – Е 0 - 2,5×10–3 u в(t) r,
откуда в пределах рассматриваемого временнóго диапазона t 1 £ t £ t 2
В. (4)
Соотношение (3) с учетом (4) позволяет определить выражения для тока в цепи
i (t) = 2,5×10–3 u в(t) = 2,5×10–3(108sinw t – 28) = 270sinw t – 70 мА, (5)
и напряжения на зажимах резистора для временнóго интервала
t 1 £ t £ t 2 ur (t) = ri (t) = 200×(270sinw t – 70)×10-3 = 54sinw t – 14 В.
Выражение (5) для тока i (t) во временнóм диапазоне t 1 £ t £ t 2 позволяет определить время t 2 перехода рабочей точки с участка 0 а на участок ab характеристики u в(i) вентиля (рис. б). В точке а, соответствующей моменту времени t 2, i (t 2) = 270sinw t 2 –70 = = 100 мА, откуда
с.
· На участке ab – ba (t 2 £ t £ t 3) i (t) = I 0 = 100 мА. Следовательно, для этого диапазона времени ur (t) = ri (t) = 200×100×10–3 = = 20 В. Тогда, как следует из уравнения (1),
u в(t)= u (t) – Е 0 - ur (t)=115 sinw t – 42– 20=115 sinw t – 62 В. (6)
В точке а (перехода рабочей точки с участка ab – ba на участок а 0),соответствующей моменту времени t 3, u в = 40 В. Для этой точки выражение (6) приобретает вид: u в(t 3) = 115 sinw t 3 – – 62 = 40 В, откуда, с учетом того, что рассматриваемое время находится в пределах второй четверти периода,
с.
· Для линейного участка а 0 (t 3 £ t £ t 4) справедливы те же решения (4) и (5), что и для участка 0 а:
i (t) = 270sinw t – 70 мА; ur (t) = ri (t) = 54sinw t – 14 В;
u в(t) = 108sinw t – 28 В.
В точке 0 (перехода рабочей точки с участка a 0на участок 0 с),соответствующей моменту времени t 4, u в = 0 В, или u в(t 4) = = 108sinw t 4 – 28 = 0 В. Откуда, с учетом того, что рассматриваемое время находится в пределах второй четверти периода,
с.
· Для участка 0 с (t 4 £ t £ Т) справедливы те же соотношения, что и для участка с 0: i (t)=0; ur (t)= ri (t)=0; u в(t)=115 sinw t – 42 В.
3. Зависимости ur (t) и u в(t) представлены на рис. в.
Задача 4
Ток источника в цепи (см. рисунок) i (t) = Im sinw t, где Im = 5 А; w = 314 с–1; вебер-амперная характеристика y(i) нелинейной индуктивности аппроксимирована степенным полиномом y(i) = ai + bi 3, где а = 6×10–2, b = –6×10–4; [y] = Вб; [ i ] = A.
Определить значение емкости линейного конденсатора, при которой действующее значение напряжения u (t) минимально. Определить u (t) в этом режиме.
Решение
1. Рассматриваемая цепь (см. рисунок) описывается уравнением на основании второго закона Кирхгофа:
u (t) = uL (t) + uC (t), (1)
где
uL (t) = 
; (2)
uC (t) = 
. (3)
2. Временнáя зависимость потокосцепления нелинейной индуктивности с учетом аппроксимирующего выражения вебер-амперной характеристики:
y(t) = ai (t) + bi (t)3 = aIm sinw t + b 
= aIm sinw t +
+ b 
= 
. (4)
3. Напряжение на зажимах нелинейной индуктивности, как следует из уравнения (2) c учетом (4),
= 
. (5)
4. Напряжение на линейном конденсаторе:
uC (t) = 
= 
. (6)
5. Напряжение на зажимах источника тока (см. уравнение (1)):
u (t) = uL (t) + uC (t) = 
=
= 
=
= 
=
= 
. (7)
Из уравнения (7) следует, что напряжение на зажимах источника тока будет минимальным при u (t)(1) (что соответствует резонансу напряжений на первой гармонике), т.е. при
. (8)
Из условия (8) вытекает
С учетом резонанса на первой гармонике напряжение на зажимах источника тока определится выражением:
u (t) = 
= 
= 
В.
Ответ: С = 208 мкФ; u (t) = – 17,65cosw t В.