Чтобы вывести алгоритм обучения персептрона, основанный на коррекции ошибок, рассмотрим модель элементарного персептрона с m входами, смещением b и функцией активации hardlim. На n-ном шаге итерации входной вектор имеет вид
.
Вектор весовых коэффициентов:
.
Выход линейного сумматора:
.
При фиксированном значении n уравнение 
определяет гиперплоскость в m-мерном пространстве для некоторого значения порога b, которая является поверхностью решений для двух различных классов входных сигналов. Чтобы персептрон функционировал корректно, классы должны быть линейно разделимыми.
Предположим, что выборки, используемые для обучения, принадлежат двум линейно разделимым классам С1 и С2. 
– множества обучающих сигналов. Требуется так настроить веса, чтобы
При определенных таким образом подмножествах Х1 и Х2 задача обучения элементарного персептрона сводится к нахождению такого вектора весов 
, для которого выполняются указанные неравенства. Если вход 
классифицирован правильно, то вектор весов не корректируется. В противном случае веса корректируются в соответствии с правилом:
Если 
– константа, не зависящая от n, вышеописанный алгоритм называется правилом адаптации с фиксированным приращением (fixed increment adaptation rule). Приведем без доказательства теорему сходимости персептрона с фиксированным приращением.
Пусть подмножества Х1 и Х2 линейно разделимы. Пусть входные сигналы поступают только от этих подмножеств. Тогда алгоритм обучения персептрона сходится после конечного числа 
итераций в том смысле, что 
является вектором решения для 
Рассмотренный алгоритм адаптации вектора весовых коэффициентов соответствует правилу обучения на основе коррекции ошибок (error-correction learning rule)
.
Параметр скорости обучения является константой, 
. Выбирая значение h следует учитывать взаимоисключающие требования:
· усреднение (averaging) предыдущих входных сигналов, обеспечивающее устойчивость оценки вектора весов, требует малых значений h,
· быстрая адаптация (fast adaptation) к реальным изменениям параметров процесса, отвечающего за формирование векторов входного сигнала, требует больших значений h.
Обучение нейронной сети
Для построения и обучения нейронной сети обычно создается набор примеров, который представляет собой совокупность векторов вида (Х,У), где Х = (х1х2,..., хn) - значения всех входов нейронной сети, а У = (у1, у2,..., уn)-значения всех выходов нейронной сети, которые должны получаться в процессе ее работы. Структура эталонных векторов задает одновременно количество входных и выходных нейронов (в данном случае n и m соответственно).
Целью обучения нейронной сети является достижение такой ситуации, когда при подаче на вход сети любого вектора X из набора примеров на ее выходе получается выходной вектор У’, отличающийся от эталонного вектора У не более чем на заданную заранее и вычисляемую определенным образом величину d.
Процесс обучения нейронной сети заключается в подборе значений всех ее характеристик таким образом, чтобы отличия выходных векторов от эталонных не превышали заранее установленной величины.
Основными характеристиками нейронной сети являются:
количество скрытых слоев,
количество нейронов в каждом из скрытых слоев,
веса входов каждого из скрытых и выходных нейронов wij,
функция активации F(neti) для каждого скрытого и выходного нейрона.
Таким образом, мы можем обобщенно сформулировать оптимизационную задачу обучения нейронной сети. Исходными данными для нее будут:
количество входных и выходных нейронов,
количество настраиваемых весов,
набор обучающих примеров.
В результате решения этой задачи мы должны получить следующие значения:
количество скрытых слоев,
количество нейронов в каждом скрытом слое,
значения весов всех входов для каждого скрытого и выходного нейрона,
функции активации для каждого скрытого и выходного нейрона.
Очевидно, что целевой функцией в данном случае будет отличие выходного вектора У’ от эталонного У, определяемая как
Рисунок 1. Нейронная сеть
Сеть состоит из шести нейронов и имеет один скрытый слой. Используется Сигмоидная активационная функция:
где n –число входов нейрона, xi – значение i-го входа, wi – вес i-го входа, Р – параметр функции активации, определяющий ее крутизну. Чем больше Pi, тем ближе сигмоида приближается к пороговой функции.
Векторы параметров сети будут иметь вид (x1,x2,x3,x4,y1), где xi – входы, а y1 – выход сети.
В качестве целевой функции будем рассматривать
где k – количество примеров, 
- выход нейронной сети для j-го примера, y1j - эталонное значение выхода НС.