МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ИЖЕВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ
АКАДЕМИЯ»
Кафедра физики
Лаборатория механики и молекулярной физики № 2(411)
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА МЕТОДОМ
КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Отредактировал: доцент кафедры физики
Новожилова С.Р.
Ижевск 2013
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА МЕТОДОМ
КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы: изучение крутильных колебаний и сравнение моментов инерции тела, вычисленных разными методами.
Приборы и принадлежности: 1) трифилярный подвес, 2) секундомер, 3) штангенциркуль, 4) кольцо.
В данной работе нужно определить момент инерции тела опытным путем и сравнить его с моментом инерции этого же тела, вычисленного по формуле.
Определение понятия момента инерции тела дано в работе №3, моменты инерции тел правильной геометрической формы относительно какой-либо оси определяются по формулам. Например, моменты инерции диска и полого кольца, относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярно плоскости основания, соответственно равны:
Iдиска = 
2, Iкольца = 
(R1 2 + R2 2 ),
где m – масса тела, R – радиус диска, R1 и R 2 – соответственно внешний и внутренний радиусы кольца.
Моменты инерции тел произвольной формы могут быть определены методом крутильных колебаний с помощью трифилярного подвеса (рис. I).
Гармоническим крутильным колебанием тела называется периодическое движение относительно оси, проходящей через центр тяжести этого тела, когда угол отклонения a от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса, например
sin 
t,
где a0 – максимальное угловое смещение, Т – период колебаний, t – время.
Трифилярный подвес состоит из диска массой m и радиуса R,подвешенного на трёх симметрично расположенных нитях. Наверху эти нити симметрично закреплены по краям диска меньшего радиуса r.
При повороте верхнего диска на небольшой угол вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр, центр тяжести системы несколько поднимается по оси вращения. Нижний диск начинает совершать крутильные колебания, период которых будет зависеть от момента инерции системы.
Пусть при вращении диск поднялся на высоту h, h= ОО1 (рис.2), тогда приращение потенциальной энергии равно ∆ П = m0gh. При вращении диска в противоположную сторону потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию вращательного движения:
T = 
I0 w02
В момент прохождения диском положения равновесия кинетическая энергия принимает максимальное значение. Пренебрегая трением, на основании закона сохранения энергии можно записать:
mgh = I0 w02 (1)
Угловая скорость диска находится как производная по времени от смещения диска: w = 
cos 
.
В момент прохождения диском положения равновесия угловая скорость платформы будет максимальна:
w0 = 
(2)
Рис. 2. Вычисление к нахождению
высоты поднятия платформы.
| Высота подъёма платформы h =OO1
или h = ВС – ВС1 =  , где 
и ВС1 = А1В2 – А1С12 =
А1В2 – (А1О12 + С1О12 – 2 А1О1 .С1О1∙ соs cosα0 ).
Если учесть, что АО = А1О1 = R –
радиус платформы, С1О1 = СО = r –
радиус верхнего диска,
α0 – угол поворота, АВ = А1В = L –
длина нитей, то легко видеть, что
ВС2 = L2 – (R – r)2,
ВС1 = L2 – (R2 + r2 – 2 R r cos α0),
тогда 
|
При малых углах отклонения α значение синуса этого угла можно заменить просто значением α, а величину знаменателя положить равной 2L. Учитывая это, имеем:
(3)
Подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1), получим момент инерции ненагруженной платформы:
= 
(4)
Если на платформу положить исследуемый груз массой m1, то период колебания платформы изменится. Обозначим этот период через Т1. Тогда момент инерции нагруженной платформы будет:
(5)
В формулах (4) и (5) величины L, R, r, π не изменяются. Следовательно, отношение 
– величина постоянная для данной системы. Обозначим 
, тогда формулы (4) и (5) примут вид
(6) 
(7).
Подставив числовые значения в формулу для нахождения коэффициента К, получим его численное значение в системе СИ.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. С помощью секундомера измерить время 5-ти полных колебаний платформы, сообщив ей вращательный импульс. Опыт повторить не менее 3-х раз. Результаты измерений занести в таблицу 1.
2. Найти период колебаний платформы по формуле: Т0 = 
Результаты вычислений занести в таблицу 1.
3. По общим правилам определения погрешности измерений, приведённым в конце данного руководства, вычислить погрешности. Коэффициент надёжности a, необходимый для вычисления коэффициента Стьюдента, задаёт преподаватель. Полученные результаты вычислений занести в таблицу 1.
4. Вычислить момент инерции ненагруженной платформы по формуле:
где 
,
m0 – масса платформы, m0 = (0,550 
0,001) кг;
R – радиус платформы, R = (0,18 0,01) м;
r – радиус верхнего диска, r = 0,045 0,001) м;
L – длина нитей подвеса, L = 2,41 0,01) м.
Результаты вычислений занести в таблицу 2.
5. Вычислить относительную и абсолютную погрешности момента инерции ненагруженной платформы по формулам: 
, 
. Результаты вычислений занести в таблицу 2.
6. Округлив полученные результаты, записать ответ по форме:
Ответ: момент инерции ненагруженной платформы равен:
I0 = (<I0> ± DI0)× ед. измерения.
Пример. Ответ: момент инерции диска равен:
I = (0,10 ± 0,01) кг×м2.
Таблица 1 Измерение времени колебаний ненагруженной платформы
| № | t0i, c | Dt0i, c | (Dt0i)2, c2 | Данные и результат |
| a = tna = | ||||
 = Dt0 =  =
| ||||
| R = DR = ЕR = | ||||
| n(n-1)= | <t0>= | Dt0p= |  =
| T0 = DT0 =  = =
t0 = <t0> ± Dt0
|
Таблица 2 Вычисление момента инерции ненагруженной платформы
| I0, кг.м2 | DI0, кг.м2 | 
| I0 = <I0> ± DI0, кг.м2 |
7. Поместить на платформу исследуемое тело (кольцо или диск) массой m1 и снова с помощью секундомера измерить время 5-ти полных колебаний нагруженной платформы, сообщив ей вращательный импульс. Опыт повторить не менее 3-х раз. Результаты измерений занести в таблицу 3.
8. Найти период колебаний платформы по формуле: Т1 = 
Результаты вычислений занести в таблицу 3.
9. По общим правилам определения погрешности измерений, приведённым в конце данного руководства, вычислить погрешности. Полученные результаты вычислений занести в таблицу 3.
10. Вычислить момент инерции нагруженной платформы по формуле:
где , (коэффициент К найден в пункте 4),
m0 – масса платформы, m0 = (0,550 0,001) кг;
m1 – масса чёрного кольца, m1 = (0,770 0,001) кг или
m1 – масса чёрного диска (даётся преподавателем).
Результаты вычислений занести в таблицу 4.
11. Вычислить относительную и абсолютную погрешности момента инерции нагруженной платформы по формулам: 
, 
. Результаты вычислений занести в таблицу 4.
12. Округлив полученные результаты, записать ответ по форме:
Ответ: момент инерции нагруженной платформы равен:
I1 = (<I1> ± DI1)× ед. измерения.
Таблица 3. Измерение времени колебаний нагруженной платформы
| № | t1i, c | Dt1i, c | (Dt1i)2, c2 | Данные и результат |
| a = tna = | ||||
 = Dt1 =  =
| ||||
T1 = DT1 =  = =
| ||||
| n(n-1)= | <t1>= | Dt1p= |  =
| t1 = <t1> ± Dt1 |
Таблица 4. Вычисление момента инерции нагруженной платформы
| I1, кг.м2 | DI1, кг.м2 | 
| I1 = <I1> ± DI1, кг.м2 |
13. Найти момент инерции исследуемого тела (кольца или диска) по формуле:
I = I1 – I0. (8)
Результаты вычислений занести в таблицу 5.
14. Вычислить момент инерции кольца (или диска) I’ по его геометрическим размерам, т.е. по формуле:
= 
– момент инерции кольца, (9)
или 
– момент инерции диска (10)
где m1 – масса кольца или диска,
R1 и R 2 – соответственно внешний и внутренний радиусы кольца,
R – радиус диска.
Результаты вычислений занести в таблицу 5.
Таблица 5
Определение момента инерции I тела опытным путем
и по его геометрическим размерам (
)
| I, кг.м2 | DI, кг.м2 | 
| I′, кг.м2 | DI′, кг.м2 | 
|
15. Вычислить погрешности по формулам: 
, 
,
, 
.
Результаты вычислений занести в таблицу 5.
16. Сравнить результат вычисления момента инерции кольца (или диска) I по формуле (8) (см. таблицу 5), полученного экспериментально, с результатом вычисления момента инерции кольца (или диска) I’ по его геометрическим размерам по формуле 9 (или 10). Сделать вывод.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется моментом инерции материальной точки, тела относительно оси вращения?
2. Напишите формулы для расчета момента инерции диска, кольца.
3. Напишите формулы для определения момента инерции ненагруженной и нагруженной платформы.
4. Выведите формулу момента инерции ненагруженной платформы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. 1977, т.I, §§ 20-22.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. Наука, 1982 т.I, §§ 36-39.
3. Грабовский Р.И. Курс физики, 1980, ч I, §§ 22-23.
Приложение