Задание № 1. Простейшие текстовые задачи.
Процент выполнения этого задания достаточно высок, но и в нем делают ошибки. В частности в задачах на проценты.
История происхождения процентов.
Первыми идею выражать таким образом части целого в одних и тех же долях, придумали древние вавилоняне. Дело в том, что этот строй пользовался шестидесятеричными дробями, поэтому им просто необходимо было такое нововведение. До наших дней дошли клинописные таблицы вавилонян, при помощи которых можно легко и быстро определить, какова сумма процентных денег. По дошедшим до нас источникам в Индии проценты были известны ещё в 5 веке. Индийские математики по своему считали процент. И это очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Они пользовались тройным правилом (использованием пропорции). Кроме этого, в Индии проводили более сложные операции с процентами, чем просто считать сдачу.
История появления процентов в Древнем Риме начинается с тех времен, когда сенату пришлось устанавливать максимально допустимый процент взимаемый с должников, чтобы заимодавцы "не переусердствовали", в "выбивании долгов". Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: "На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы". Кстати, именно из Рима проценты начали свое "шествие" по миру.
В Средние века очень сильно распространена была торговля, в связи с чем много внимания было обращено на правильность и умение высчитывать проценты. Тогда уже проценты, история которых началась гораздо раньше, начали свою эволюцию. Торговцам приходилось считать не просто проценты, а проценты с процентов, сложные проценты и т. д. Некоторые компании даже составляли свои таблицы и схемы по вычислению процентов. Эти таблицы, кстати считались коммерческой тайной и тщательно охранялись. Но уже в 1584 году таблицы с расчетом процентов перестали быть тайной. Дело в том, что Симон Стевин, инженер из Нидерландов, опубликовал таблицу процентов.
Употребление термина "процент" в России начинается в конце 18 века. Долгое время под процентами понималась исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Проценты принимались только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась.
Задача 1. В городе N живёт 150 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых 45% не работают (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей работает?
Почему именно эту задачу редко решают правильно? Потому что за 100% каждый раз принимаются разные величины.
Решение.
Известно, что 15% можно представить в виде доли 0,15 от целого значения. Так, 15% от 150000 жителей есть 150000*0,15=22500 и, следовательно, взрослых жителей в городе 150000-22500=127500. Среди них 45% не работают, значит, работающих 55% что составляет 127500*0,55=70125 жителей.
Ответ: 70125.
Задача 2. Налог на доходы составляет 13 % от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 15 660 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?
Несмотря на простоту задачи, именно в этой задаче встречается много ошибок. Необходимо обратить внимание, что 15 660 рублей – это зарплата после удержания налога, то есть 0,87 от зарплаты.
Решение.
Пусть x рублей составляет зарплата до вычета 13% (то есть все 100%). После вычета 100-13=87% зарплата составила 15 660 рублей. Имеем пропорцию:
откуда
Ответ: 18000 руб
Задача 3. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?
Решение.
С учетом комиссии, Аня должна внести в приемное устройство сумму не менее 300 + 300 · 0,05 = 315 рублей. Значит, минимальная сумма, которую должна положить Аня, — 320 рублей. Проверим, что этой суммы достаточно: 5% от нее составляют 16 руб. (это комиссия), оставшиеся 304 рубля пойдут на счет телефона.
Ответ: 320.
Примечание.
Заметим, что сделанная проверка является важной частью решения. Например, если бы Аня хотела бы положить на счет своего телефона 400 руб., она должна была бы сначала вставить в банкомат 400 + 20 = 420 руб., увидеть, что комиссия составляет 21 руб., а на счет телефона поступит 399 руб., и добавить еще 10 руб. Всего 430 руб.
Приведем другое решение.
После уплаты 5% комиссии на счет телефона остаётся 95% вносимой суммы, которая должна быть не меньше 300 рублей. Если нужно внести x рублей, то 0,95 x ≥ 300, откуда x ≥ 315,7... Поэтому x = 320 руб.
Задание №2. Чтение графиков и диаграмм.
Задача 1. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался от температуры 60 °C до температуры 90 °C.
Неправильный ответ – «8» часто получается из-за невнимательного прочтения условия задачи.
Решение.
Из графика видно, что двигатель нагревался от температуры 60 °C до температуры 90 °C с пятой по восьмую минуту, таким образом, он нагревался 3 минуты.
Ответ: 3.
Задача 2. В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое еще не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке эта зависимость представлена графиком. По горизонтали откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, по вертикали — масса оставшегося реагента, который еще не вступил в реакцию (в граммах). Определите по графику, сколько граммов реагента вступило в реакцию за три минуты?
Решение.
Из графика видно, что в начальный момент времени было 20 граммов реагента, а через три минуты его стало 8 граммов. Следовательно, прореагировало 12 граммов.
Ответ: 12
Задача 3. Материальная точка движется от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат — расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость, необходимо перемещение разделить на время, за которое это перемещение совершено.Таким образом, средняя скорость: 
м/с.
Ответ: 2.
Примечание.
Обратите внимание: требуется найти среднюю скорость, а не среднюю путевую скорость. У некоторых читателей возникает соблазн искать среднюю путевую скорость. При данной формулировке задания это невозможно: по условию, на оси ординат откладывается расстояние от начального положения точки, а не пройденный путь; кроме того, в условии нет указания на прямолинейность движения. Эти обстоятельства не позволяют выяснить среднюю путевую скорость. Но о ней и не спрашивают. Вычисление средней скорости нами приведено верно.
Задание 3. Квадратная решётка, координатная плоскость.
Задача 1. Найдите тангенс угла AOB. Сторона одной клетки
Ответ:-1
Задача 2. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
I способ.
II способ
Ответ:1
Задание 4. Начала теории вероятностей.
Задача 1. При производстве в среднем на каждые 2982 исправных насоса приходится 18 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.
Ошибка при решении данной задачи чаще всего возникает из-за того, что за общее количество исходов берут число 2982, тогда как у нас всего насосов 3000.
Решение.
В среднем неисправны 18 из каждых 3000 насосов, поэтому вероятность случайно выбрать неисправный насос равна
Ответ: 0,006.
Задача 2. В классе 26 учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
Решение.
Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 12 человек, равна 12: 25 = 0,48.
Изложим решение иначе.
Пусть Андрей оказался в некоторой группе. Сергей может занять любое из оставшихся 25 мест. Из них 12 мест будут в группе с Андреем. Поэтому искомая вероятность равна 12: 25 = 0,48.
Еще два способа решения.
Ответ: 0,48.
Задача 3. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.
Решение.
Рассмотрим события
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате.
Тогда
A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65.
