Треугольник Паскаля.
Объяснение
Nое Число в треугольнике — это коэффициент, который будет стоять при xn, при раскрытии скобок в выражении (1+x)n.
Число (nk) в треугольнике — это число способов из n-элементного множества выбрать k-элементное подмножество*.
Треугольник Паскаля представляет собой таблицу, в ячейках которой стоят упорядоченные биномиальные коэффициенты для различных степеней сверху-вниз и слева-направо в порядке возрастания. Произвольный биноминальный коэффициент можно вычислить по следующей формуле:
| (nk) = | n! (n-k)!k! |
В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел, из-за этого треугольник можно продолжать до бесконечности.
Мартин Гарднер писал в книге «Математические новеллы», что "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".
Изучая специальную литературу, я узнала, что еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но сколько в этом таится чудес. Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. Треугольник Паскаля имеет применение в теории вероятностей и обладает замечательными свойствами.
Я узнала, что треугольник Паскаля - это бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел
Решение задач по комбинаторике с помощью треугольника Паскаля.
Задача 1.
В магазин доставили 6 компьютеров, их необходимо расставить по 3 в ряд. Сколькими способами можно это сделать?
Решение 1.
Эту задачу можно решит с помощью бинома Ньютона
Или с помощью треугольника Паскаля. Для этого нам нужно найти шестую строку и третью диагональ (номер строки определяется общим количеством компьютеров, а номер диагонали тем количеством компьютеров, сколько их должно стоять в ряду).
На их пересечении будет ответ.
Примечание: если вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 6 с 3 строкой, то обнаружите, что они не пересекаются. То есть сам метод не дает вам ошибиться.
Решение 2.
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 2015 6 1
Задача 2.
Сколькими способами можно расставить 9 цветов по 3 штуки в букет?
Решение 1.
Решение 2.
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 2015 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Задачи на нахождение биномиальных коэффициентов.
Задача 1.
Найти разложение (х+3)3
Решение.
Воспользуемся треугольником Паскаля.
Поскольку треугольник Паскаля строится с помощью биноминальных коэффициентов, то каждый ряд будет соответствовать (a+b) в степени равной номеру строки.
Из этого следует, что 
3 
1х3+3х2 
3+3х 32+33=х3+9х2+27х+27
Пример. Написать разложение вида:
(x + y)7.
Решение. Воспользовавшись строкой треугольника Паскаля с номером 6 и применив основное свойство треугольника Паскаля, получим строку с номером 7:
| 1 6 15 20 15 6 1 | |
| 1 7 21 35 35 21 7 1 |
Следовательно,
(x + y)7 = x 7 + 7 x 6 y + 21 x 5 y 2 + 35 x 4 y 2 + 35 x 3 y 4 + 21 x 2 y 5 + 7 xy 6 + y 7.
Задача 2.
Найдите разложение (4+2х)5
Решение.
(4+2х)5=45+ 
Нахождение степеней числа 11 с помощью треугольника Паскаля.
Задача 1.
Найдите 113.
Решение.
Для вычисления этой задачи нам необходимо найти ряд в треугольнике, номер которого будет соответствовать степени, в которую нам необходимо возвести 11.
Если степень меньше пяти, то необходимо просто переписать числа в ряду по порядку.
Третий ряд записывается так: 1 3 3 1.
Поэтому 113=1331
Найду диагональ восьмую сверху и отсчитываю три числа по горизонтали. Получу число 56.
Задача 2. Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
Найду диагональ шестую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 15.
Задача3. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?
Решение. Сначала найдём общее число возможных исходов, т.е. сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради из 12 тетрадей 
А сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради в клетку из имеющихся 5 тетрадей?
Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А)= m/n.
По формуле нахождения вероятности получим