Лекция 10
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Вопросы:
1. Открытые и замкнутые множества. Граничные и внутренние точки множества.
2. Области, задаваемые неравенствами.
3. Понятие функции двух переменных.
4. Способы задания функции двух переменных.
5. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции.
6. Частные производные.
7. Полный дифференциал функции.
Основные понятия
Открытые и замкнутые множества. Граничные и внутренние точки множества
Определение 5.1. n-мерной точкой 
называют последовательность 
действительных чисел 
. Сами числа называют координатами точки М. Множество всех -мерных точек составляет n-мерное пространство Rn.
Определение 5.2. Расстоянием между точками и 
называют число
.
Определение 5.3. 
-окрестностью 
точки 
в -мерном пространстве 
называют множество всех точек 
таких, что 
, т.е. точки круга с центром в точке М0, где — некоторое положительное число.
Определение 5.4. Точку называют внутренней точкой множества D точек -мерного пространства , если она входит в множество D вместе с некоторой окрестностью .
Определение 5.5. Точку называют граничной точкой множества D, если каждая окрестность точки содержит как точки из множества D, так и точки, не принадлежащие этому множеству.
Определение 5.6. Множество всех граничных точек множества D называется границей этого множества.
М 1 — граничная точка
М 2 — внутренняя точка
М 3 — граничная точка
Определение 5.7. Множество D в называют открытым, если все точки множества D являются внутренними.
Определение 5.8. Множество D в 
называют замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.
Определение 5.9. Множество D точек в 
называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.
Области, задаваемые неравенствами
Определение 5.10. Всякое открытое и связное множество в принято называть областью.
Все определения данные в п. 5.1.1 справедливы для области.
Часто встречаются области, определенные следующим образом.
Пусть имеются две функции, определенные и непрерывные в замкнутом промежутке [ а, b ]: y=f (x), у=g (x).
Допустим, кроме того, что g (x) <f (x) для a<x<b.
Это означает, что график функции f (x) находится над графиком функции g (x) (за исключением, быть может, концов интервала, в которых возможно f (x) =g (x)).
Множество точек (x,у), удовлетворяющих неравенствам: а<x<b, g (x) <у <f (x), образует связную область, границей которой служат графики функций f (x), g (x) и прямолинейные отрезки, соединяющие соответствующие концы этих кривых. Очевидно, что в некоторых случаях эти отрезки сводятся к точкам.
Понятие функции двух переменных
При изучении многих вопросов экономики, естествознания и других наук часто приходится иметь дело с такими зависимостями между несколькими переменными величинами, когда численные значения одной из них полностью определяются значениями нескольких величин. Так, например, спрос d на данный продукт зависит от его цены x и наличных ресурсов потребителей y.
Эта часть курса высшей математики посвящается изучению такого вида зависимостей. Далее вводятся функции нескольких переменных, и изучается аппарат исследования таких функций.
По аналогии с функцией одной переменной можно дать определение функции двух переменных.
Определение 5.11. Если каждой паре чисел (x, y) из некоторого множества D, ((x, y) 
D) по некоторому правилу ставится в соответствие единственное действительное число 
, то говорят, что на множестве D задана функция двух переменных.
При этом x и y называются независимыми переменными (аргументами), z — зависимой переменной, множество D — областью определения функции, а E — множеством значений функции.
Обозначения функции двух переменных: z = z (x, y), z = f (x, y), z = h (x, y), или у = f (x 1, x 2) и т.д.
Замечание. Так как каждой паре чисел (x, y) соответствует единственная точка P (x, y) плоскости Oxy и, обратно, каждой точке P (x, y) соответствует единственная пара чисел (x, y), то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки P (x, y) и вместо записи z=f (x, y) писать z = f (P), а областью определения функции в этом случае будет некоторое множество точек { P } плоскости.