ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

В экономических расчетах существует две схемы наращения или два способа начисления процентов:

- простые проценты (simple interest);

- сложные проценты (compound interest).

Простые проценты - начисление процентов только на первоначальную сумму долга. Наращенная сумма может быть определена следующим образом

(2)

- множитель наращения простых процентов, характеризующий степень увеличения первоначальной суммы за весь срок ссудной операции.

Простые проценты используются, как правило, для ссуды сроком менее одного года: n<1. В этом случае срок ссуды необходимо исчислить по формуле

, (3)

где t-число дней ссуды;

K-число дней в году или временная база.

Однозначные, на первый взгляд, параметры t и K могут быть определены различным способом. Так, временная база принимается равной либо 360, либо 365 (366) дням. В первом случае получают обыкновенные или коммерческие проценты (ordinary interest), при продолжительности года 365 (366) дней получают точные проценты (exact interest).

Число дней ссуды так же может быть исчислено двумя способами: 1) приближенное число дней ссуды – определяется исходя из предположения о продолжительности каждого месяца 30 дней; 2) точное число дней – рассчитывается по реальным календарным срокам. День выдачи ссуды и день ее погашения в сумме принимаются равными одному дню.

Таким образом, теоретически срок ссуды может быть выражен четырьмя способами: 1) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды – 360/360; 2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды – 365/360; 3) точные проценты с приближенным числом дней ссуды – 360/365; 4) точные проценты с точным числом дней ссуды – 365/365. На практике не используется лишь третий метод, остальные же могут быть применены в различных ситуациях. Нетрудно заметить, что наибольшую сумму процентных денег обеспечивают, как правило, коммерческие проценты с точным числом дней ссуды.

Приведенная выше формула простых процентов (2) характеризу­ет наращение по фиксированной процентной ставке. Для плавающей процентной ставки сумма наращения исчисляется

(4)

где i_s- значения, которые принимает плавающая процентная ставка;

n_s- продолжительность периода действия процентной ставки i_s.

Погашение долга с начисленными процентами может произво­диться единовременно или частями.

Существует два метода расчетов необходимых показателей при погашении задолженности частями: актуарный и метод торговца.

Актуарный метод означает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток служит базой для начисления процентов за следующий период. Если частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Такое поступление приплюсовывается к следующему платежу.

Правило торговца имеет два варианта реализации:

1. Если срок ссуды не превышает 1 год, то сумма долга с начис­ленными за весь срок остается неизменной до полного погашения. Параллельно идет накопление частичных платежей с начислением на них до донца срока процентами. Последний взнос должен сбалансиро­вать долги и платежи.

2.Если срок ссуды превышает 1 год, то указанные выше расчеты делаются для годового периода задолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичныхплатежей. Остаток ссуда погашается в следующем периоде.

Сложные проценты - это начисление процентов на первоначаль­ную сумму долга и на ранее начисленные проценты. Еще одно название этого метода - ''проценты на проценты". Формула для начисления наращенной суммы методом сложных процентов

(5)

Так же, как и в случае простых процентов, (1+i)ⁿ множитель наращения сложных процентов. Сложные проценты используют, как правило, при сроке ссуды более 1 года. Эта традиция существует благодаря различной эффективности наращения по методу простых и сложных процентов при сроке ссуды до и более 1 года.

При сроке ссуды до 1 года более эффективное наращение, при прочих равных условиях, обеспечивает метод простых процентов

где

Для ссуды сроком более 1 года эффективнее наращение по методу сложных процентов

где

Отмеченные соотношения помогают понять методы расчетов сложных процентов для ситуации, когда n не является целым числом. Представим число n как сумму целой части k и дробной части : В соответствии с правилами математики сумма наращения должна быть рассчитана по ранее отмеченной формуле (5)

В экономических расчетах рекомендуется использовать совме­щенные методы, поскольку так обеспечивается более эффективное наращение.

(6)

Для плавающих процентных ставок расчет сложных процентов производится по следующей формуле

. (7)

Следует отметить в виду, что в формуле (7) также может быть применен совмещенный метод при нецелом значении.