СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ГИДРАВЛИКЕ И ГИДРОПРИВОДУ
Допущено Учебно-методическим объединением вузов
Российской Федерации по образованию в области горного дела
в качестве учебного пособия для студентов высших
учебных заведений, обучающихся по специальности
«Горные машины и оборудование» направления
«Технологические машины и оборудование»
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
УДК 622.223:621.22(075.80)
ББК 30.123.я7
М365
Приведены основные понятия гидравлики и гидропривода, расчетные зависимости, примеры решения задач и краткие справочные данные. Задачи могут быть использованы при проведении практических занятий, контрольных работ, зачетов, экзаменов, при составлении домашних заданий и расчетно-графических работ, для иллюстрации лекционного материала. Приведены задачи и расчетные задания по гидравлике шахтных водопроводных сетей и гидроприводу горных машин.
Сборник предназначен для студентов горных специальностей, изучающих курсы «Гидромеханика», «Гидравлика», «Гидравлика и гидропривод» на дневных, вечерних и заочных отделениях вузов, а также может быть использован инженерными работниками соответствующих проектных организаций.
Рецензенты: канд. техн. наук В.И.Кибирев (ЗАО «Механобр инжиниринг»); канд. техн. наук В.А.Зимницкий («Энергомаш (ЮК)»).
Маховиков Б.С.
М365. Сборник задач по гидравлике и гидроприводу: Учеб. пособие / Б.С.Маховиков, В.И.Медведков, В.В.Шорников. Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет). СПб, 2004. 153 с.
ISBN 5-94211-109-X
УДК 622.223:621.22(075.80)
ББК 30.123.я7
| ISBN 5-94211-109-X | Ó Санкт-Петербургский горный институт им. Г.В.Плеханова, 2004 г. |
ВВЕДЕНИЕ
Сборник задач составлен в соответствии с учебными программами курсов «Гидромеханика», «Гидравлика», «Гидравлика и гидропривод» для студентов, изучающих горные специальности 170100 «Горные машины и оборудование», 090500 «Открытые горные работы», 090201 «Подземная разработка пластовых месторождений», 090202 «Подземная разработка рудных месторождений», 090400 – «Шахтное и подземное строительство» и др.
Сборник задач содержит краткие теоретические данные, формулы, справочные таблицы, иллюстрации, примеры и задачи. Три первые раздела носят общетехнический характер. Четвертый раздел непосредственно связан с вопросами горного дела; приведены задачи по определению параметров струеформирующих устройств и струй для гидравлического разрушения угля, для тушения подземных пожаров, для производства гидровскрышных работ. В пятом разделе рассматриваются вопросы водоснабжения забоев гидрошахт и шахтного водоотлива, а также анализируется расчетно-графическая работа по расчету параметров распределительной трубопроводной сети. Шестой раздел посвящен фильтрации жидкости – одному из важных процессов горного дела. В седьмом разделе предлагается ряд задач, связанных с приводом проходческих и выемочных комбайнов, с анализом различных схем циркуляции жидкости в системах гидропривода горных машин, и формулируются задания для расчетно-графических работ по расчету и выбору оборудования гидропривода для конкретных горных машин.
Каждая задача снабжена ответом; следует иметь в виду, что ответы связаны либо с единственно возможным и широко известным способом решения, либо в задаче даются наводящие рекомендации, которые следует выполнять для получения заданного ответа, либо в теоретической части указаны необходимые рекомендации. Большинство задач содержат данные в единицах Международной системы (СИ), однако, в некоторых задачах использованы ранее принятые размерности, что должно способствовать, по мнению авторов, развитию навыков перевода единиц из одной системы в другую.
В сборнике в переработанном виде использованы задачи из «Задачника по гидравлике и гидроприводу для студентов горных специальностей» [3].
РАЗДЕЛ 1
СВОЙСТВА ЖИДКОСТИ
Плотность жидкости – параметр, характеризующий количество ее массы m в единице объема V,
(1.1)
Плотность смеси разных веществ определяется выражением
(1.2)
В табл.1.1 приведены значения плотности некоторых жидкостей и газов.
Таблица 1.1
| Жидкость | Температура, оС | Плотность, кг/м3 | Жидкость | Температура, оС | Плотность, кг/м3 |
| Метан | 0,668 | Мазут | - | 933-998 | |
| Воздух | 1,186 | Минеральные масла | - | 850-920 | |
| Воздух | 1,293 | ||||
| Керосин | 806-831 | Вода | |||
| Спирт | Глицерин | ||||
| Нефть | 850-950 | Ртуть |
Удельный вес – сила тяжести (вес) вещества в единице объема:
Н/м3. (1.3)
Сжимаемость – свойство жидкости изменять свой объем V при изменении давления р. Сжимаемость характеризуется коэффициентом сжимаемости a р (м2/Н) или модулем упругости жидкости Е ж (Н/м2 = Па) (табл.1.2),
(1.4)
При увеличении давления на величину D р начальный объем жидкости V уменьшится на величину D V:
(1.5)
Плотность этой жидкости изменится согласно зависимости
(1.6)
где rо – начальная плотность жидкости при начальном давлении; r р – плотность при конечном давлении.
Таблица 1.2
| Жидкость | Среднее значение Е ж, МПа | Жидкость | Среднее значение Е ж, МПа |
| Спирт | Мин. масла | ||
| Керосин | Вода | ||
| Нефть | Глицерин |
Тепловое расширение – свойство жидкости изменять свой объем при изменении температуры. Тепловое расширение характеризуется коэффициентом объемного расширения a t. При увеличении температуры на величину D t начальный объем жидкости V увеличится:
(1.7)
а плотность изменится в соответствии с формулой
(1.8)
Среднее значение a t для некоторых жидкостей при t = 20 °С дано в табл.1.3.
Таблица 1.3
| Жидкость | a t, К-1 | Жидкость | a t, К-1 |
| Вода | (1,5-2) 
| Керосин | 9,6 
|
| Глицерин | 4,9
| Спирт | 11
|
| Минеральные масла | 7
|
Величина a t зависит от температуры и давления. Значения коэффициента a t для воды при р = 0,1 МПа приведены в табл.1.4.
Таблица 1.4
| T, оС | 1-10 | 10-20 | 40-50 | 60-70 | 90-100 |
| a t, К-1 | 
| 
| 
| 
| 
|
Совместное влияние давления и температуры на плотность жидкости можно примерно оценить зависимостью
(1.9)
Вязкость – свойство жидкости оказывать сопротивление сдвигу ее слоев или их относительному смещению. Вязкость проявляется при движении жидкости, при этом возникают касательные напряжения t, которые пропорциональны (коэффициент пропорциональности m) градиенту скорости 
, т.е.
(1.10)
Коэффициент пропорциональности есть динамический коэффициент вязкости
, 
, (1.11)
где n – кинематический коэффициент вязкости, м2/с.
Иногда встречаются внесистемные единицы: для m – пуаз (П), для n – стокс (Ст). Соотношение между внесистемными единицами и единицами СИ:
В табл.1.5 приведены значения n для некоторых жидкостей.
Таблица 1.5
| Жидкость | Температура, оС | n×106, м2/с | Жидкость | Температура, оС | n×106, м2/с |
| Бензин | 0,60 | Масла минеральные (гидропривод) | 9,6-55 | ||
| Вода | 1,006 | ||||
| Спирт этиловый | 1,51 | Нефть | 25-140 | ||
| Керосин | 15-20 | 2-2,5 | Мазут топочный | 44-118 | |
| Воздух | 14,5 | Глицерин |
Кинематический коэффициент вязкости для воды в зависимости от температуры можно определить по эмпирической формуле
м2/с. (1.12)
В табл.1.6 приведены значения n воздуха и керосина для разных температур
Таблица 1.6
| Жидкость | n×106, м2/с | |||
| t = 0 °С | 15 °С | 18 °С | 20 °С | |
| Воздух | 14,5 | - | ||
| Керосин | - | - | 2,5 | 2,2 |
Вязкость также может быть представлена условными единицами (ВУ – вязкость условная) или градусами Энглера (°Е)
°Е = t / t о, (1.13)
где t о = 52 с – водное число, соответствующее времени истечения 200 см3 дистиллированной воды при 20 °С; t – время истечения из вискозиметра Энглера того же объема жидкости при заданной температуре.
Через градус Энглера (или ВУ) коэффициент n выражается следующим образом:
м2/с. (1.14)
Сведения о коэффициентах n и m также содержатся в справочной литературе [1].
В ряде случаев может быть задан закон изменения местной скорости в рассматриваемом сечении плоского потока, например, в виде 
, где u и n – величины, входящие в градиент скорости . Определять заданные параметры следует с использованием соответствующей производной при заданных граничных параметрах.
В других ситуациях возникает необходимость определять силы трения или момент сил трения при вращении одной детали относительно другой, если в кольцевом зазоре между ними находится какая-либо жидкость. Здесь сила трения определяется по формуле
Н, (1.15)
где D и b – соответственно диаметр и длина цапфы; s – зазор между перемещающимися поверхностями; u o – скорость движущейся поверхности.
ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1.1. Найти отношение удельных весов воды у поверхности Земли (g1) и на такой высоте от поверхности, где ускорение свободного падения g 2 = 4 м/с2 (g2), если у поверхности плотность воды ρ = 1000 кг/м3.
Решение. У поверхности Земли g 1 = 9,81 м/с2. Искомое соотношение согласно выражению (1.3)
Ответ: 
Пример 1.2. При напорном течении горячего мазута по трубе касательное напряжение на ее внутренней поверхности составляет t = 2 Па. Найти значение кинематического коэффициента вязкости мазута, если скорость в поперечном сечении трубы изменяется согласно уравнению 
Решение. Согласно формуле (1.10) 
, а с учетом формулы (1.11) 
; y = n. Примем плотность мазута r = 933 кг/м3 (см. табл.1.1). Производная 
. На стенке трубы, где действует заданное напряжение t, у = 0; при этом 
и искомый коэффициент 
м2/с. Сравнение с данными табл.1.5 подтверждает правильность найденного решения.
Ответ:n = 53,5×10-6 м2/с.
Пример 1.3. При гидроопрессовке баллона он был заполнен водой при давлении р 1 = 6 МПа. В результате утечки части воды через неплотности давление в баллоне снизилось вдвое.
Пренебрегая деформацией стенок баллона, определить объем воды D V, вытекшей за время опрессовки, если диаметр баллона D = 350 мм, а его высота Н = 1200 мм.
Решение. Согласно формуле (1.5) 
. По табл.1.2 для воды Е ж = 2050 МПа. Изменение давления за время опрессовки 
Объем воды в баллоне 
м3.
Искомая утечка:
Ответ: D V = 0,168 л.
ЗАДАЧИ
Задача 1.1. Определить, во сколько раз изменится плотность воздуха, если его нагреть от 0 до 80 °С при постоянном давлении.
Ответ: в 1,293 раза.
Задача 1.2. В резервуар, содержащий 125 м3 нефти плотностью 760 кг/м3, закачано 224 м3 нефти плотностью 848 кг/м3. Определить плотность смеси.
Ответ:rсм = 816,5 кг/м3.
Задача 1.3. Определить объем, занимаемый нефтью весом 1,25 МН, если ее плотность равна 850 кг/м3.
Ответ: V = 149,9 м3.
Задача 1.4. В резервуар залито 15 м3 нефти плотностью 800 кг/м3. Сколько необходимо долить нефти плотностью 824 кг/м3, чтобы плотность смеси стала равной 814 кг/м3?
Ответ: V 2 = 21 м3.
Задача 1.5. В резервуар залито 20 м3 нефти плотностью 850 кг/м3 и 25 м3 нефти плотностью 840 кг/м3. Определить плотность смеси.
Ответ:rсм = 844,4 кг/м3.
Задача 1.6. Определить удельный вес жидкости при ускорении силы тяжести 9,81 м/с2 и 2 м/с2, если 0,8 л этой жидкости уравновешиваются гирей массой 1,5 кг.
Ответ:g1 = 18394 Н/м3; g2 = 3750 Н/м3.
Задача 1.7. Определить ориентировочно вид жидкости, если 11,9 л этой жидкости уравновешиваются гирей массой 15 кг на уровне поверхности моря.
Ответ: жидкость – глицерин.
Задача 1.8. Сосуд объемом 2 м3 заполнен водой. На сколько уменьшится и чему станет равным объем воды при увеличении давления на 2×107 Па?
Ответ:D V = 0,0195 м3; V 2 = 1,9804 м3.
Задача 1.9. При давлении р 1 = 0,1 МПа объем воды в баллоне составляет V. На сколько процентов сократится этот объем при увеличении давления в 50 раз?
Ответ:D V составляет 0,24 % от V.
Задача 1.10. Баллон объемом 36 дм3 заполнен нефтью и плотно закрыт при давлении 1×105 Па. Какое количество нефти необходимо закачать в баллон дополнительно, чтобы давление в нем повысилось в 25 раз? Деформацией стенок баллона пренебречь.
Ответ:D V = 65 см3.
Задача 1.11. При испытании резервуара гидравлическим способом он был заполнен водой при давлении 50×105 Па. В результате утечки части воды через неплотности давление в резервуаре понизилось до 11,5×105 Па. Пренебрегая деформацией стенок резервуара, определить объем воды, вытекшей за время испытания. Объем резервуара 20 м3.
Ответ:D V = 0,037 м3.
Задача 1.12. Определить давление, требующееся для сжатия жидкости с объемным модулем упругости Е ж = 2000 МПа в 1,5 раза.
Ответ: р = 666 МПа.
Задача 1.13. Определить, во сколько раз сжимается жидкость с объемным модулем упругости Е ж = 2100 МПа под давлением р = 200 МПа.
Ответ:в 1,11 раза.
Задача 1 14. Стальной горизонтальный трубопровод длиной L = 15 км, диаметром D = 0,6 м опрессовывают водой с давлением р = 0,6 МПа. Определить объем воды V, закачиваемый в трубопровод в процессе опрессовки. Упругостью стенок трубопровода пренебречь.
Ответ: V = 4240,24 м3.
Задач 1.15. Определить, какой вес должен иметь батискаф, чтобы достигнуть глубины Н = 1400 м при диаметре корпуса D = 3 м и длине L = 6 м. Плотность морской воды на поверхности составляет 1030 кг/м3, температура 20 °С. Температура воды на глубине 1400 м равна 4 °С. Коэффициент сжимаемости воды 0.49×10-9 Па-1, коэффициент теплового объемного расширения воды 1×10-4 К-1.
Ответ: G > 431975 Н.
Задача 1.16. 23500 кг бензина при температуре 276 К занимают объем 33,25 м3. Какой объем будет занимать бензин при температуре 290 К, если давление не изменится? Коэффициент температурного расширения бензина принять a t = 0,00065 К-1.
Ответ:33,56 м3.
Задача 1.17. Стальной баллон заполнен водой и плотно закрыт при t 1 = 20 °С и давлении р 1 = 0,1 МПа. Определить давление р 2 в баллоне при t 2 = 60 °С. При t = 20 °С плотность воды r20 = 998,23 кг/м3, а при t = 60 °С r60 = 983,24 кг/м3. Модуль упругости воды принять равным 2050 МПа.
Ответ: р 2 = 30,89 МПа.
Задача 1.18. Определить динамический коэффициент вязкости жидкости и ее вид (ориентировочно), если при объеме V = 200 мл и весе G = 1,8 Н она вытекает из вискозиметра Энглера при водном числе t о = 52 с за время t = 208 с.
Ответ:m = 0,0257 Па×с; жидкость – минеральное масло.
Задача 1.19. Чему равен динамический коэффициент вязкости мазута, если его плотность 933 кг/м3, а вязкость составляет 8 °Е?
Ответ:m = 5,38×10-2 Па×с.
Задача 1.20. Каково будет касательное напряжение у внутренней стенки топливного трубопровода при перекачивании топлива с вязкостью 10 °Е и плотностью r = 932 кг/м3, если градиент скорости равен 4?
Ответ:t = 0,27 Па.
Задача 1.21. Определить касательное напряжение на поверхности движущегося судна, если изменение скорости воды u по нормали к этой поверхности выражается уравнением и = 516 y – 13400 y 2, справедливым при значениях у < 1,93×10-2 м; температура воды равна 15 °С.
Ответ:t = 0,58 Па.
Задача 1.22. Какова сила трения на внутренней стенке топливного трубопровода диаметром D = 80 мм и длиной L = 10 м, если скорость движения топлива по сечению трубопровода изменяется по закону u = 25 y – 312 у 2 (где у – расстояние от внутренней поверхности трубопровода, которое изменяется от 0 до 0,5 D)? Вязкость топлива составляет 9 °Е, плотность топлива r = 920 кг/м3. Чему равна максимальная скорость движения топлива в трубопроводе?
Ответ: Т = 3,76 Н; u max = 0,5 м/с.
Задача 1.23. Определить силу Т поверхностного трения тонкой пластины длиной L = 3 м, шириной b = 1 м, обтекаемой с двух сторон водой при температуре t = 15 °С, если скорость воды вблизи поверхности пластины в направлении нормали к ней изменяется по уравнению u = 200 y – 2500 y 2 (значения у изменяются от 0 до 0,04 м).
Ответ: Т = 1,37 Н.
Задача 1.24. Плотность нефти при температуре t = 280 К равна 850 кг/м3. Условная вязкость ее при температуре 295 К равна 6,4 °Е. Определить динамическую вязкость нефти при температуре 295 К, если коэффициент температурного расширения a t = 0,72×10-3 К-1.
Ответ:m = 0,0385 Па×с.
Задача 1.25. При определении вискозиметром условной вязкости дизельного масла ДП-II при температуре 100 °С время истечения 200 см3 масла составило 1 мин 35,5 с. Водное число вискозиметра 50,3 с. Определить коэффициент кинематической вязкости масла.
Ответ:n = 10,56×10-6 м2/с.
Задача 1.26. Определить кинематический коэффициент вязкости минерального масла, если его удельный вес g = 8500 Н/м3, а динамический коэффициент вязкости m = 0,0986 Па×с.
Ответ:n = 114×10-6 м2/с.
Задача 1.27. Найти динамический коэффициент вязкости жидкости в зазоре s = 5 мм между двумя цилиндрами длиной L = 90 см, средним диаметром D ср = 40 см при числе оборотов внутреннего цилиндра n = 50 об/мин и силе, удерживающей наружный цилиндр Т = 3 Н.
Ответ:m = 0,0127 Па×с.
РАЗДЕЛ 2
ГИДРОСТАТИКА
Гидростатическое давление р – есть напряжение сжатия, возникающее от действия внешних сил F,
(2.1)
где S – площадь рассматриваемой поверхности, м2.
Единицы измерения гидростатического давления: паскаль (Па), атмосфера (ат), килограмм-сила на сантиметр квадратный (кгс/см2), метры столба жидкости (м ст. ж.); последняя единица соответствует понятию «напор», который выражается через давление
(2.2)
Соотношение между различными единицами давления:
1 ат = 1 кгс/см2 = 10 м вод. ст. = 736 мм рт. ст. = 98100 Па = = 98,1 кПа = 0,0981 МПа.
Согласно основному уравнению гидростатики давление в рассматриваемой точке жидкости (точка А на рис.2.1, а) есть алгебраическая сумма внешнего давления на жидкость 
и давления от столба жидкости 
над (или под) рассматриваемой точкой:
(2.3)
Различают: атмосферное давление р а 
, абсолютное давление p абс, измеренное от абсолютного нуля; атмосферное давление абсолютное; избыточное положительное (кратко избыточное) давление или манометрическое р и – избыток над атмосферным давлением; избыточное отрицательное давление или вакуумметрическое 
– недостаток до атмосферного давления.
Абсолютное давление всегда положительное, а вакуумметрическое не может быть больше атмосферного.
Внешнее давление р 0 может быть атмосферным, т.е. 
и может отличаться от атмосферного.
Внешнее давление р 0 на жидкость может быть создано компрессором (+ р и) или вакуум-насосом (– р и), а также силовым поршнем (рис.2.1, б).
|
Внешнее давление на жидкость р 0 передается во все ее точки без изменения (эффект Паскаля); на любой горизонтальной плоскости, проведенной через однородную жидкость в ее замкнутом объеме, давление одно и тоже. Объем считается замкнутым, если две его любые точки можно соединить непрерывной линией. На рис.2.1, в для однородной жидкости на горизонтальной плоскости N - N р 0 = const; линия р 0 – р 0 непрерывна. Эти признаки, в частности, используют при определении давления с помощью жидкостных приборов.
Относительный покой жидкости может соответствовать, например:
|
· движению сосуда с жидкостью по горизонтальной плоскости с ускорением a (рис.2.2) и тогда давление в точке А определяется по формуле
|
, (2.4)
где h – глубина погружения точки А (по вертикали) под поверхностью уровня с давлением 
, а угол a наклона свободной поверхности жидкости к горизонту определяется по формуле
(2.5)
· равномерному вращению сосуда с жидкостью с угловой скоростью w относительно вертикальной оси (рис.2.3). При этом уравнение свободной поверхности жидкости (параболоид вращения)
(2.6)
где r и z – цилиндрические координаты, вращающиеся вместе с сосудом; z 0 – вертикальная координата вершины параболоида от дна сосуда или иной заданной горизонтальной плоскости.
Высота параболоида при радиусе сосуда R
(2.7)
Начальное положение жидкости в сосуде (w = 0) соответствует плоскости N - N (рис.2.3). Давление p в любой точке на глубине h (например, в точке А) под свободной поверхностью с давлением p 0 определяется по уравнению (2.3).
|
Полная сила давления жидкости на плоскую фигуру (например, эллипс – в плоскости стенки сосуда, след которой в плоскости чертежа – линия АВ), наклоненную к горизонту под углом a, определяется по формуле (рис.2.4)
(2.8)
где h ц – глубина погружения центра тяжести фигуры; 
l ц – расстояние от свободной поверхности до центра тяжести, отсчитываемое в плоскости фигуры; S – площадь фигуры; p ц – гидростатическое давление в центре тяжести фигуры.
Точка приложения силы F (центр давления Д) лежит ниже центра тяжести Ц и определяется по формуле:
(2.9)
где l ц и l д – соответственно расстояние по наклонной плоскости стенки от свободной поверхности до точек Ц и Д; I ц – центральный момент инерции фигуры.
Для некоторых фигур (рис.2.5) силы от давления столба жидкости и координаты центра давления l д даны в табл.2.1; все размеры даны в плоскости стенки АВ, которая изображена при a = 90°. Расположение фигуры ниже свободной поверхности жидкости отмечено координатой L. Для перехода к высотам h ц и h д следует воспользоваться связью вида h = l sina.
|
Таблица 2.1
| Фигура | Вариант | S | L ц | l д | F |
| Прямо-угольник | ab | 
| 
| 
| |
| Прямо-угольник | ab | 
| 
| 
| |
| Треу-гольник | 
| 
| 
| 
| |
| Треу-гольник | 
| 
| 
| 
| |
| Трапеция | 
| 
| 
| 
| |
| Круг | p r 2 | 
| 
| 
|
Для вертикальных фигур a = 90°, 
для горизонтальных фигур a = 0, 
.
|
Силу давления жидкости F на плоские стенки с постоянной шириной b и центры давления l д, h д можно также определить графически с помощью эпюр давления [9]. При этом
(2.10)
где S э – площадь эпюры давления.
Абсциссы эпюры давления выражают давление в соответствующих точках с учетом (или без учета).
|
В открытых резервуарах эпюра давления на прямоугольную стенку АВ есть прямоугольный треугольник АВС (рис.2.6) с основанием r gh и высотой h (или 
– для наклонной стенки).
В закрытых резервуарах при наличии избыточного давления 
на свободной поверхности искомая эпюра есть трапеция АВСД (рис.2.7) с основаниями: верхним р 0 и нижним 
и высотой h (или – для наклонной стенки).
Аналогичная эпюра будет и в случае открытого сосуда, но если при этом сила F определяется не на всю смоченную стенку АВС (рис.2.8), а только на ее нижнюю часть ВС.
Линия действия искомой силы F проходит через центр тяжести эпюры давления (точка О на рис.2.6, 2.7 и 2.8).
Центр давления также можно найти аналитически по формулам:
· для рис.2.7
; (2.11)
· для рис.2.8
(2.12)
При двухстороннем давлении жидкости на стенку центр тяжести О результирующей эпюры давления можно найти как графически, так и аналитически:
|
· результирующая сила от избыточного давления
; (2.13)
· плечо результирующей силы давления
(2.14)
Сила избыточного давления жидкости на криволинейные цилиндрические поверхности (рис.2.9) определяется по формуле
, (2.15)
где Fx – горизонтальная составляющая силы; Fz – вертикальная составляющая силы.
Составляющая Fx равна силе давления на вертикальную (плоскую) проекцию криволинейной поверхности. Составляющая Fz равна весу тела давления V.
Тело давления действительно (знак плюс, Fz направлена вниз), если находится в жидкости, и фиктивно (знак минус, Fz направлена вверх), если находится за пределами жидкости. Объем тела давления V – объем вертикального столба жидкости (действительного или фиктивного), опирающегося на заданную криволинейную поверхность и ограниченного сверху пьезометрической плоскостью.
На рис.2.9 стенка представлена четвертью кругового цилиндра радиусом r; на свободной поверхности атмосферное давление p a; свободная поверхность в данном случае является пьезометрической плоскостью. Жидкость смачивает стенку снизу. Тело давления (в сечении – четверть круга) жидкости не принадлежит, следовательно, оно фиктивно (знак минус), а вертикальная составляющая силы F (Fz) направлена вверх.
 
|
Горизонтальная составляющая
, (2.16)
где b – длина поверхности вдоль оси OY; S = Syoz – площадь проекции ADB на плоскость YOZ;
вертикальная составляющая
, (2.17)
где V – объем фиктивного тела давления, 
; 
– площадь тела давления в плоскости XOZ, 
Подставив найденные значения Fx и Fz в (2.15), найдем результирующую силу F. Составляющая Fx действует на плече 
(здесь h = r); направление равнодействующей F должно проходить через центр кривизны N; точка D есть точка приложения силы F.
ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 2.1. Найти силу 
, сжимающую тело Т до начала действия усилия 
и после его приложения 
.
|
Дано: F 1 = 120 Н; h = 20 см; S 1 = 0,01 м2; S 2 = 10 м2; 
Трением и весом поршней пренебречь.
Решение. До момента приложения силы 
в точке А под большим поршнем действует давление от столба жидкости высотой h
при этом тело Т испытывает силу
После приложения силы в точке А по закону Паскаля возникнет давление
при этом тело Т будет испытывать силу
Ответ: 
Пример 2.2. Водоем частично перекрыт щитом, который находится в нижнем положении, оставляя свободным верхнее прямоугольное отверстие. По мере накопления воды в водоеме она начинает переливаться через верхнее отверстие в «сухую» часть канала и отводится по уклону канала от водоема. При необходимости щит переводят из нижнего положения в верхнее, при этом вода перетекает в канал через придонное отверстие.
|
Вертикальный щит шириной b перемещают с усилием Т в пазах с коэффициентом трения f. Вес щита G. Высота верхнего отверстия h 1, высота слоя воды в водоеме h.
Определить усилие Т и плечо 
приложения силы F от давления воды на щит в его нижнем положении если задано: f = 0,05; h 1 = 0,5 м; G = 2 кН;