Уравнение прямой в отрезках

Лекция 4. Прямая линия на плоскости.

Вопросы:

1. Понятие уравнения линии в R².

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

3. Угол между прямыми.

4. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

5. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

6. Общее уравнение прямой.

7. Расстояние от точки до прямой.

8. Решение экономических примеров.

Уравнение линии на плоскости

Определение 2.9. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оxy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

В общем виде уравнение линии может быть записано виде (или если это возможно) , где — некоторые функции.

Если точка передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты точки называются текущими координатами. Буквы, входящие в уравнение называются параметрами.

Точка пересечения двух линий, заданных уравнениями и находится решением системы

Надо отметить, что не каждое уравнение определяет линию на плоскости. Например, определят точку ; не определят никакой линии; определят две линии .

Чтобы составить уравнение линии заданной некоторым свойством нужно:

1) взять произвольную (текущую) точку линии;

2) записать равенством общее свойство всех точек М линии;

3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через текущие координаты точки и через данные задачи.

Пример 2.4. Вывести уравнение линии, для точек которой кратчайшее расстояние до данной окружности и прямой равны между собой.

Решение. Окружность имеет центр в точке и радиус Возьмем текущую точку По условию АМ = ВМ. Найдем эти отрезки и упростим полученное равенство. Так как координаты то Из чертежа видно, что Поэтому или — парабола (см. рис.2.9).

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение прямой, проходящей через две точки М ₁ (x ₁; у ₁) и М ₂ (x ₂, y ₂), записывается в виде

(2.7)

Доказательство. Возьмем текущую точку М (x; у) на прямой, проходящей через точки М ₁(x ₁; у ₁) и М ₂(x ₂,y₂). Из условия коллинеарности векторов , получаем , что и требовалось доказать.

Пример 2.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки

М (-1,3) и N (2,5).

Решение. Полагая , , , в уравнении (2.7) получаем

, или

Итак, искомое уравнение имеет вид

Полезно проверить, что уравнение составлено верно. Для этого достаточно показать, что координаты точек М и N удовлетворяют уравнению прямой. Действительно, равенство выполняется тождественно.

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой по заданным отрезкам и отсекаемым на осях координат, т. е. уравнение прямой проходящей через точки и имеет вид

(2.8)

Доказать самостоятельно.

Рис. 2.10

2.2.4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору (по нормальному вектору и точке)

Пусть прямая проходит через точку , перпендикулярно вектору (Рис. 2.11).

Так как , то из условия перпендикулярности векторов имеем

. (1.9)

Раскрывая скобки, получаем , где .

Рис. 2.11

Отсюда следует, что если задано уравнение прямой , то вектор будет перпендикулярным до этой прямой. Он называется нормальным вектором прямой. Этот факт широко используется при решении различных задач.

Общее уравнение прямой

Теорема. Всякое уравнение первой степени относительно x и y, т.е. уравнение вида

, (2.10)

где А, В и С — постоянные коэффициенты, причем , определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Доказательство. Возьмем произвольную точку на линии , то есть должно выполнятся равенство . Отсюда Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению , а это, согласно предыдущему пункту, — уравнение прямой.