Уравнение Пуассона — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает:электростатическое поле, стационарное поле температуры, поле давления, поле потенциала скорости в гидродинамике.
Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.
Это уравнение имеет вид:
{\displaystyle \Delta \varphi =f,}Где {\displaystyle \Delta } — оператор Лапласа, или лапласиан, а {\displaystyle f} вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.
{\displaystyle \Delta \varphi =0.}Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».
Уравнение Пуассона (неоднородное уравнение Лапласа). Δ = fU (1) Область применения данного уравнения – задачи электростатики, электронной оптики, теории упругости и др.
В данной статье мне хотелось бы изложить реализацию метода конечных элементов на примере уравнения Пуассона. Рассмотрим задачу:
(2)
с однородным краевым условием
(3)
где
(4)
(5)
(6)
Требуется найти функцию 
, решающую заданное уравнение.
3.1 Решение
Умножим начальное уравнение на функцию 
, непрерывную, кусочно непрерывно-дифференцируемую и равную на краях нулю, и проинтегрируем полученное уравнение по всей области 
.
После применения формулы интегрирования по частям, получим следующее уравнение
(7)
Введем на области квадратную сетку с шагом 
:
(8)
и каждый квадрат разделим диагональю, параллельной биссектрисе первого координатного угла:
Рисунок 1
Получим разбиение области на треугольные элементы 
— триангуляция области . Триангуляция такого типа называется триангуляцией Фридрихса-Келлера.
Будем искать приближенное решение данного уравнения как функцию 
, равную нулю на границе (краевое условие), непрерывную на области и линейную на каждом полученном элементе триангуляции.
Функцию можно представить в следующем виде:
(9)
где значения функций в точке 
определены следующим образом:
(10)
(11)
Подставив функцию в первое уравнение, осуществив преобразования и вынос констант изпод знака интеграла, сведем задачу для каждой базисной функции к подсчету интегралов вида:
(12)
Значение интеграла может быть не нулевым лишь в том случае, если базисные функции под знаком интеграла имеют непустую общую область определения. По построению, каждый элемент имеет три вершины. Вершина может быть общей максимально для 6 треугольников:
Рисунок 2
С соответствующими значениями производных для каждого из 6 случаев приведенных в таблице 1:
таблица 1
После подсчетов интеграла уравнение с номером 
будет выглядеть следующим образом:
(13)
где
(14)
и при достаточно малом 
:
(15)
Следовательно, уравнение может быть переписано в следующем виде:
(16)
Добавив граничные условия, а именно:
(17)
(18)
получаем полную СЛАР, решая которую, находим значения функции в точках сетки.
Выводы
Большая часть всех уравнений в частных производных 2го порядка, линейных относительно вторых производных являются представителями 3х различных классов уравнений, которые существенно отличаются друг от друга по методам исследования и по физической природе (описывают различные физические явления).
Любой процесс нагрева и охлаждения можно разделить на три стадии. Первая охватывает начало процесса и характеризуется постепенным распространением температурных возмущений, захватывающих все новые и новые участки материала.
Скорость изменения температуры в отдельных точках материала может быть различной и сильно зависит от начального распределения температур в теле и удаленности этих точек от источника нагрева или охлаждения.
Поэтому первая стадия процесса называется неупорядоченным режимом. С течением времени влияние начальных неравномерностей сглаживается, и относительная скорость изменения температуры во всех точках тела становится постоянной.
Наступает вторая стадия – режим упорядоченного процесса, который называют регулярным режимом.
Список литературы
1.Методические указания по выполнению лабораторных работ по теп-лотехнике. Северо-Западный заочный технический университет. – СПб, 2003. 2.Техническое описание лабораторного комплекса ЛКТ – 2А. – М.: Московский инженерно-физический институт, Владис, 1999. – 65 с.
3.Теплотехнический эксперимент. Справочник по тепломассообмену. – М.: Энергоиздат, 1982. – 512 с.
4.Исаев С.И. Теория тепломассообмена/ С.И. Исаев. – М.: Энергия,
5. Бахвалов Н. С., Корнев А. А., Чижонков Е. В. – Численные методы. Решения задач и упражнения. – М.: «Дрофа», 2009 г. 393 с. (Главы 2, 7, 9).
6.Вабищевич П. Н. – Вычислительные методы математической физики. Стационарные задачи. – М.: «Вузовская книга», 2008 г. 196 с.
7.Вабищевич П. Н. – Вычислительные методы математической физики. Нестационарные задачи. – М.: «Вузовская книга», 2008 г. 228 с.
8. Вержбицкий В. М. – Основы численных методов. – М.: «Высшая шко- ла», 2002 г. 840 с. (Главы 2, 3, 17, 19, 20, 21).
9. Власова Е. А., Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. – Приближенные методы математической физики. – М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004 г. 704 с.
10.Зализняк В. Е. – Основы вычислительной физики. Часть 1: Введение в конечно-разностные методы. – М.: «Техносфера», 2008 г. 224 с
другие источники:
https://www.ifilosofia.ru/;
https://bsu-philosophy.wikia.com/;
https://scicenter.online/
https://studopedia.su/
https://radaevslava.livejournal.com/