Условие равновесия произвольной плоской системы сил.

1. При равновесии главный вектор системы равен нулю F_гл = 0.

Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:

где F_kx и F_ky – проекции векторов на оси координат.

2. Поскольку точка приведения выбрана произвольно, ясно, что при равновесии сумма моментов сил системы относительно любой точки на плоскости должна равняться нулю:

где А и В – разные точки приведения.

Условие равновесия произвольной плоской системы сил может быть сформулировано следующим образом:

Для того чтобы твердое тело под действием произвольной плоской системы сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равнялась нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки в плоскости действия сил равнялось нулю.

Получим основную форму уравнения равновесия:

Теоретически уравнений моментов можно записать бесконечное множество, практически доказано, что на плоскости можно составить только три независимых уравнения моментов и при этом три точки (центры моментов) недолжны, лежать на одной линии.

Таким образом, имеем пять независимых уравнений равновесия.

Практически для решения задач на плоскости достаточно трех уравнений равновесия. В каждом конкретном случае используются уравнения с одним неизвестным.

Для разных случаев используются три группы уравнений равновесия

Для частного случая, если уравновешена система параллельных сил, можно составить только два уравнения равновесия:

Ось Ох системы координат параллельна линии действия сил.

Задание

Балка с шарнирными опорами в точках А и В нагружена как показано на рис. С моментом Т сосредоточенной силой F и равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью g. Определить реакции опор?

Дано:

Т= кН×м

g₁= кН

g₂= кН

F= кН

Определить:

Rax, Ray, Rb

Пример

Балка с шарнирными опорами в точках А и В нагружена как показано на рис. С моментом Т сосредоточенной силой F и равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью g. Определить реакции опор?

Дано: Т=15кН×м

g₁= 25 кН

g₂= 25 кН

F= 20 кН

Определить:

Rax, Ray, Rb

Решение:

1. Заменим равномерно распределенную нагрузку ее равнодействующей

F× g₁= g×а=25×1=25кН

F× g₂= g×с=25×3=75кН

2. Освободим балку от связи заменив их реакциями Rax, Ray, Rb, получим показанную на схеме действующую на балку уравновешенную систему сил.

3. Составим уравнения равновесия.

∑ТА (Fк)=0 (1)

∑ТВ (Fк)=0 (2)

∑Fкх=0 (3)

1. Т-F×2-Fg₂×3,5+ Fg₁×0,5+Rb×5=0

Rb= F×2-T+ Fg₂×3,5- Fg₁×0,5 = 40-15+75×3,5-12,5 =55кН

5 5

2. Т+F×3+Fg₂×1,5+ Fg₁×5,5-Raу×5=0

Raу= T+ F×3+Fg₂×1,5+ Fg₁×5,5 = 15+75×1,5+20×3+25×5,5 =65кН

5 5

3. Rax=0

Проверка:

∑Fку=0

Raу- Fg₁- Fg₂+ Rb- F=0

65-25-75+55-20=0

0=0

Вывод: