Решение задач на топографической карте

Задача 1. Измерение расстояний по карте. Решение многих задач по карте сопровождается определением по ней расстояний между точками местности. При этом необходимо помнить, что на картах и планах мы имеем уменьшенные горизонтальные проложения линий местности. Степень уменьшения отрезков на картах ab относительно их горизонтальных проложений AB соответствующих линий местности называется масштабом,

т.е 1/М=ab/AB (1)

Чтобы определить по карте горизонтальное проложение линии местности между двумя точками, в раствор циркуля-измерителя берут отрезок карты и определяют длину последнего в сантиметрах при помощи линейки с делениями. В соответствии с формулой (1).

AB = ab * M (2)

Пример 1. Определить длину горизонтального проложения линии местности, если на карте М 1:25 000 эта линия выражается отрезком в 4,20 см.

На основании уравнения (2) находим, что искомое расстояние на местности (горизонтальное проложение)

AB = 4,20 см * 25 000 = 1 050 м.

При решении подобных задач обычно количество сантиметров в длине отрезка карты умножается на величину масштаба: AB = 4,2 * 250 м = 1 050 м. Чтобы не производить подобных перевычислений, на практике обычно пользуются графическими масштабами – линейным и поперечным. Линейный масштаб имеется на всех топографических картах, а поперечный гравируется на металлических линейках, которые называются масштабными и широко применяются при работах на планах.

Пример 2. Пользуясь линейным масштабом, определить по карте М 1:25 000 расстояние на местности, соответствующее отрезку ab карты.

Раствором циркуля-измерителя, соответствующим в масштабе отрезку карты, совмещают одну иглу его с одним из штрихов линейного масштаба справа от нуля так, чтобы другая игла попала на шкалу левого крайнего основания (рис. 7). По двум концам ножек измерителя снимают отсчеты, суммируют их и получают значение искомой длины:

AB = 1 000 + 180 = 1180 м.

 

1: 25 000

Рис.7. Линейный масштаб

Таким образом, доли наименьшего деления, линейного масштаба оцениваются на глаз. Поперечный масштаб обеспечивает большую точность измерений, так как наименьшее деление его равно 0,01 доли основания масштаба. Прежде чем пользоваться масштабной линейкой в заданном численном масштабе, нужно рассчитать, какой длине на местности соответствует основание нормального поперечного масштаба (2 см), десятая доля (0,2 см) и сотая доля основания (0,02 см). Так, для численного масштаба 1: 25 000 перечисленным отрезкам поперечного масштаба на местности соответствуют 500, 50 и 5 м.

Пример 3.Пользуясь поперечным масштабом, определить по карте М 1: 25 000 расстояние на местности, соответствующее отрезку ab карты (рис. 8).

 

Рис.8. Масштабная линейка

Измеритель, раствор которого берется по длине отрезка между заданными на карте точками, устанавливают на линейке так, чтобы одна игла находилась на вертикальной линии, а другая - на одной из наклонных линий. По двум ножкам измерителя снимают отсчеты и искомое расстояние подсчитывают с учетом значения каждого деления масштаба:

AB = 2 * 500 м + 3 * 50 м * 7 * 5 м = 1185 м.

Для плана М 1: 1 000 отрезку такой же длины на местности будет соответствовать следующее расстояние:

AB = 2 * 20 м + 3 * 2 м + 7 * 0,2 м = 47,4 м

Точность измерения расстояний по карте зависит от масштаба карты, ошибок размножения карт, от деформации бумаги, упругости ножек измерителя, отсчета по масштабу и других факторов. Вследствие этого ошибка измерения расстояний по карте ∆d в 5-7 раз больше точности масштаба карты (плана). Следовательно, для карты М 1: 10 000 ошибка измерения расстояний может достигать 5-7 м. Однако точность линейных измерений характеризуется не абсолютной, а относительной ошибкой ∆ d| d. Для рассмотренного выше примера относительная ошибка измеренного расстояния составляет

6∙2.5 м/1185 м = 15м/1185м=1/80,

т.е. точность измерения расстояний по карте этого масштаба очень низкая.

Задача 2. Определение прямоугольных координат точек. Координатная сетка, нанесенная на карту, представляет собой систему линий, параллельных координатным осям данной зоны (рис. 9).

 

 

Рис.9. Шестиградусная координатная зона

Шестиградусные зоны государственной системы прямоугольных координат совпадают с колоннами миллионной карты, но в отличие от последних нумерация шестиградусных зон ведется от начального, гринвичского меридиана к востоку. Следовательно, номера колонн миллионной карты и шестиградусных зон различаются на 30.

За ось абсцисс принимают осевой меридиан зоны, за ось ординат – перпендикулярное к нему изображение части экватора. Абсциссы х в северной части зоны положительны, ординаты у к востоку от осевого меридиана имеют знак плюс, к западу – минус. Для того чтобы ординаты были положительны, ординату начала координат принимают равной 500 км, т.е. у _ос.мер. = 500 км. Таким образом, точки, расположенные к западу от осевого меридиана, имеют ординаты меньше 500, а к востоку – больше 500 км. Перед ординатой, кроме того, указывают номер зоны.

Выходы линий координатной сетки и их оцифровка даются, как выше было отмечено, между внутренней и минутной рамками: полностью около углов рамки, сокращенно – все остальные (рис. 1). Так, абсцисса самой нижней линии координатной сетки равна 5601 км. Следовательно, эта линия удалена от экватора на 5601, следующая – на 5602, затем – на 5603 км и т.д. Ордината самой крайней левой линии сетки равна 12288, затем 12289 км и т.п. Известно, что у ординат три цифры справа указывают удаление этой точки линии от начала отсчета ординат. Номер зоны, к которой относятся данные координаты, указывают перед численным значением ординаты. Например, точка А (рис. 1) с координатами х = 5601 км, у = 12288 км находится в 12-ой зоне на расстоянии 212 км (288 – 500) к западу от осевого меридиана этой зоны.

Так как линии координатной сетки проводят через целое число километров (1, 2, 10 км), то их часто называют километровыми, а сетку километровой. С помощью такой координатной, или километровой сетки, можно быстро находить координаты объектов, наносить точки по координатам, указывать местоположение изображенных объектов.

Для определения прямоугольных координат точки достаточно измерить в масштабе карты расстояние ∆х и ∆у от нее до южной и западной сторон квадрата координатной сетки, в котором находится точка К; в данном случае ∆х = 0,85 км, ∆у = 0,68 км,следовательно,

Х_К = 5602 км + 0,85 км = 5602,85 км и У_К =12289 км + 0,68 км = 12289,68 км.

Аналогично находим прямоугольные координаты точки С. Измерив расстояние СС₁ и СС₂ от точки С до южной и восточной сторон квадрата координатной сетки, получим координаты (СС_{1 = 0,55 км;} СС₂ = 0,42 км):

Х_С = 5602 км + 0,55 км = 5602,55 км;

У_С = 12288 км – 0,12 км = 12287,88 км.

Таким образом, по карте можно определить зональные прямоугольные координаты любой точки местности.

Задача 3. Определение ориентировочных углов. При ориентировании линии в геодезии за начальное обычно берут направление истинного или магнитного меридиана, а также направление вертикальной линии координатной (километровой) сетки. В зависимости от начального направления различают ориентировочные углы: азимуты истинные и магнитные, дирекционные углы.

Известно, что истинный А и магнитный А_М – азимуты линий местности или карты, а также дирекционные углы Т отсчитываются от северного направления соответствующего исходного меридиана по ходу часовой стрелки (рис. 10).

Зависимость между истинными и магнитными азимутами, а также между истинным азимутом и дирекционным углом выражается формулами (3 и 4):

A = Aм + δ; (3)

A = T + γ, (4)

здесь δ – склонение магнитной стрелки;

γ - сближение меридианов.

Угол между географическим и магнитным меридианами данной точки называется склонением δ магнитной стрелки. Если магнитный меридиан отклоняется к востоку от географического, то магнитное склонение называется восточным и имеет знак плюс, к западу – западным и имеет знак минус. Сближением меридианов γ называют угол между северным направлением истинного меридиана и направлением линии координатной сетки.

На полях топографической карты приводится схема, показывающая углы между направлениями магнитного и истинного меридианов и вертикальными линиями координатной сетки. Так, на рис. 11 магнитное склонение восточное, т.е. δ = +5º, а сближение меридианов западное, следовательно, ɣ = -1º22′.

Для измерения дирекционного угла линии ее продолжают до пересечения с ближайшей вертикальной линией координатной сетки. Затем с помощью транспортира измеряют угол от северного направления линии сетки до данного направления по ходу часовой стрелки (рис. 12): Т_ОВ = 180⁰ + 130⁰ = 310⁰.

Истинный и магнитный азимуты этой же линии можно определить, используя полученное значение дирекционного угла и схему расположения исходных направлений (рис. 11). По этой схеме устанавливаем, что истинный азимут будет меньше дирекционного угла на 1⁰22′, магнитный азимут – на 5 ⁰ + 1⁰22′ (рис. 13). Кроме того, значение соответствующих углов можно получить из формул (3 и 4).

 

 

По карте можно сразу определить значение истинного азимута А. Для этого необходимо спустить географическую сетку: используя минутную рамку, провести меридианы и параллели через одну минуту (рис. 14).

Для определения румба линии транспортиром измеряют острый угол между ближайшим направлением вертикальной линии сетки и заданной линией (по ходу или против хода часовой стрелки). При определении истинного или магнитного румба вводят соответствующие поправки на сближение меридианов и склонение магнитной стрелки.

Задача 4. Определение по карте отметок точек земной поверхности и превышений между ними. Абсолютные отметки точек местности определяют по горизонталям карты (плана). Если точка лежит на горизонтали, то абсолютная высота ее (отметка) равна абсолютной высоте этой горизонтали. Так, отметка точки А равна 102,5 м (рис. 15).

Для определения отметки точки B, лежащей между горизонталями, необходимо определить её превышение над низшей горизонталью и прибавить его к отметке этой горизонтали.

Превышение точки B, точнее h΄, над точкой А находится из соотношения:

h’ = (ВА/АД)∙h (5)

 

где AД - величина заложения, соответствующего линии наибольше крутизны, проведенной через точку В;

ВА - горизонтальное проложение ската между точками В и А;

h - высота рельефа (рис.16).

Для рассматриваемого примера (рис.15) АД= 11 мм; ВА = 4 мм; h = 2,5 м. Превышение точки В над точкой А,(т.е. над горизонталью 102,5 м) будет равно

h’ = (4мм/11мм) ∙ 2,5м = 0,91 м, а отметки в Hв = 102,5+0,91 = 103,41м.

 

Поскольку ошибка в нахождении отметок точек по плану М 1:10 000 составляет в среднем 1/2 h, во многих случаях отношение ВА и АД можно определить на глаз.

Если точка К лежит внутри замкнутой горизонтали 110,0 м, опоясывая вершину холма, то для определения её отметки следует взять вспомогательную точку М, лежащую в центре замкнутой горизонтали. Условно принимают, что превышение точки М над ближайшей горизонталью равно 1/2h, т.е. 1,25. Тогда отметка этой точки будет равна 111,25 м. Превышение точки К над низшей горизонталью находят так же, как в предыдущем случае. В нашем примере отношение отрезков NK и MN равно примерно 1/3, поэтому h΄= ⅓ ∙ 1,25 м = 0,41м. Отметка точки К равна 110,0+0,42 = 110,42м. Если внутри замкнутой фигуры имеется точка, отметка которой известна, то её следует использовать как вспомогательную точку.

При определении по карте отметки горизонтали можно воспользоваться не только надписями отметок других горизонталей, но и отметками точек, помня, что отметки сплошных горизонталей всегда кратны высоте сечения, а утолщенных – 4h = 10 м (на карте М 1:10 000). Так, отметка горизонтали, ближайшей к вершине с отметкой 113,25 м, равна 112,5 м. Отметка наибольшей горизонтали для вершины с отметкой 216,4 м, расположенной в квадрате 69-10 прилагаемой карты, равна 215,0, а в ближайшей утолщенной – 210 м.

Превышение между точками находится по разности их отметок; причем от отметки конечной точки следует вычитать отметку начальной точки:

h_BK = H_K - H_B = 110,42 – 103,41 = +7,01м.

Задача 5. Определение крутизны скатов. Крутизна скатов выражается величиной угла наклона α (линии ската к горизонту) и величиной уклона линии – i. Уклоном называется тангенс угла наклона линии местности к горизонту, т.е. i = tgα = h/d (6)

где h – превышение между точками местности;

d – горизонтальное проложение линии местности, т.е. измеренное по карте расстояние

Уклон – это отвлеченная величина, выражаемая десятичной дробью, в тысячных долях (промилле) или в процентах.

Так, для линии ВК (рис.15.) превышение между точками В и К равно 7,01 м, горизонтальное проложение d = 235 м. Тогда i = 7,01/235м = 0,030 = 30%ₒ = 3,0%.

Для линии ската АД в формуле (6) d – заложение ската; h – высота сечения рельефа и

i = 2,5 м/(1,1∙100м) = 0,0227 = 0,023.

Значение крутизны в градусной мере может быть определено по таблицам натуральных значений тригонометрических функции. Так, для ската АД угол наклона d, найденный по tgα = 0,023, равен 1° 20΄. Рассмотренный аналитический способ определения крутизны ската применяется редко. Чаще используется графический способ, когда крутизна ската определяется по графику (называется масштабом заложения), расположенному на полях топографической карты под южной рамкой (см. приложение).

Масштаб заложений строят так: на горизонтальной линии графика откладывают равные отрезки произвольной длины и у их концов подписывают значения α (рис.17). На перпендикулярах, восстановленных из концов отрезков, откладывают в масштабе плана соответствующие значения α, вычисленные по выражению α = h/i (табл. 3). Здесь h является постоянной величиной для данной карты. Концы отрезков, отложенных на перпендикулярах, соединяются плавной кривой и получают масштаб заложений.

Таблица 3.

Значения d	Угол наклона
0°30΄	1°	2°	3°	4°	5°
d, м
d,с м	2,76	1,43	0,72	0,48	0,36	0,28

 

Для определения крутизны ската надо взять циркулем расстояние между смежными сплошными горизонталями по определяемой линии и перенести его на масштаб заложений. В этом месте внизу читают значение крутизны в градусах. На рис.15 крутизна ската между точками α и β равна 2°,6.

Для определения крутизны скатов в уклонах пользуются масштабом уклонов (рис.18). Его построение и использование аналогично масштабу заложения.

 

Иногда крутизну ската определяют глазомерно, для этого сравнивают крутизну ската, соответствующую заложению в 1 см, с величиной заложения определяемой линии. Крутизну ската, соответствующую заложению в 1 см, можно найти графически или по приближенной формуле. Для карты М 1:10 000 заложению в 1 см. соответствует крутизна

α = (60º ∙ 2,5м)/100м = 1º,5.

Зависимость между крутизной ската и заложением обратно пропорциональная, поэтому крутизна ската определяется по правилу: во сколько раз заложение между двумя смежными горизонталями меньше 1 см, и наоборот. Так, если заложение линии ската равно 2 мм, то крутизна ската будет 1º,5 х 5 = 7º,5.

Задача 6. Проектирование линии заданного уклона. В строительной практике часто приходится по топографической карте проектировать трассу с заданными уклоном.

Сначала вычисляют заложение ската, соответствующее заданному уклону ί, или определяют его по масштабу заложений. Затем из начальной точки А отрезком в растворе циркуля, равным d, последовательно делают засечки на смежных горизонталях и приходят в конечную точку Е (рис.15). Полученные точки соединяют прямыми и получают трассу заданного уклона. Если начальная точка А лежит между горизонталями, то первую засечку делают раствором циркуля с иной длиной заложения, чем последующие. Для этого находят превышение точки над горизонталью, по которому вычисляют величину первого заложения.

Задача 7. Построение профиля местности по заданному направлению. На топографической карте задано направление PQ, по которому требуется построить профиль местности (см. рис.15).

Для построения профиля на миллиметровой бумаге проводят горизонтальную линию 1, на которой в заданном горизонтальном масштабе откладывают отрезок PQ, а также все точки пересечения этой линии с горизонталями и характерными точками (точками, расположенными на оси хребта и лощины), затем через 1 см проводят линию 2, через 1,5 см – линию 3 и еще через 1 см – линию 4. В первой графе пишут расстояния между ближайшими точками (горизонталями), измеренные на плане, а в следующих – их отметки и уклоны (рис.19).

Верхней прямой придают значение условного горизонта. Его отметка должна быть меньше отметки самой низкой точки на столько, чтобы эта точка была расположена выше условного горизонта на 2-6 см.

 

 

Из концов отрезков восстанавливают перпендикуляры, на которых откладывают соответствующую разность отметки точки и условного горизонта. Обычно для наглядности вертикальный масштаб берут в 10 раз крупнее горизонтального - 1:10 000. При составлении профиля с горизонтальным масштабом, равным масштабу карты, для ускорения работы отрезки с карты можно переносить при помощи полоски бумаги.

Рассмотренный профиль является сокращенным. Для проектирования какого-нибудь линейного сооружения (дороги, подземного трубопровода, каналов) строится подобный профиль, сетка которого имеет еще ряд других граф: проектных отметок и уклонов, ситуаций и др.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Каждый студент должен найти на карте М 1:10 000 (приложение) линию с номером, соответствующим номеру варианта задания, и решить задачи 1-7, придерживаясь следующих требований:

1. Определить по карте расстояние на местности между конечными точками отрезка, пользуясь линейным масштабом карты и масштабной линейкой. Найти относи­тельную ошибку в расстоянии, используя последнее из­мерение.

2. Для конечных точек отрезка найти прямоугольные координаты (измерение отрезков по карте производить с помощью поперечного масштаба).

3. Для направления линии, соединяющей точки А и B измерить дирекционный угол и перевести его в истинный и магнитный азимуты.

4. Определить абсолютные отметки конечных точек отрезка и превышение между ними.

5. По известным данным вычислить уклон заданной линии. По всем заложениям линии определить крутизну скатов в градусной мере, используя графический и гла­зомерный способы.

6. Перерисовать схематично в тетрадь прилегающий к линии рельеф и провести от начальной точки линию любого выбранного уклона.

7. По направлению линии построить профиль в мас­штабах: для горизонтальных расстояний - 1:10 000, для вертикальных 1:500 (для большей наглядности).

Все расчеты и построения выполнять в тетрадях с указанием наименования каждой задачи.