Индукция. Дедукция
В основе всякого научного исследования, в том числе и математического, лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедукция (от латинского “deductio” - выведение) - переход от общего рассуждения к частному, индукция (от латинского “inductio” - наведение) - вид обобщений, основанный на переходе от частного вывода к общему.
В математике дедуктивный метод применяется, например, в рассуждениях такого типа: данная фигура - прямоугольник; у каждого прямоугольника диагонали равны.
Индуктивный подход обычно начинается с анализа и сравнения данных наблюдения или эксперимента. Многократность повторения какого-либо факта приводит к индуктивному обобщению. Индуктивный подход люди, часто сами того не замечая, применяют почти во всех сферах деятельности. Так, например, рассуждения, с помощью которых суд приходит к решению, можно сравнить с индуктивными рассуждениями. Такие сравнения уже предлагались и обсуждались авторитетами по судебной практике. На основании некоторых известных фактов выдвигается какое-либо предположение (гипотеза). Если всё вновь выявленные факты не противоречат этому предположению и являются следствием его, то это предположение становится более правдоподобным. Конечно, для практики повседневного и научного мышления характерны обобщения на основе исследования не всех случаев, а только некоторых, поскольку число всех случаев, как правило, практически необозримо. Такие обобщения называются неполной индукцией.
Если же общее утверждение удаётся доказать во всех возможных случаях, то такая индукция называется полной. Результат, полученный неполной индукцией, вообще говоря, не является логически обоснованным, доказанным. Известно много случаев, когда утверждения, полученные неполной индукцией, были неверными. В математике примером такого утверждения может служить следующее. Рассматривая числа вида 2^2^n+1, французский математик П. Ферма заметил, что при n=1,2,3,4 получаются простые числа. Он предположил, что все числа такого вида простые. Однако Л. Эйлер нашел, что уже при n=5 число 2^32+1 не является простым: оно делится на 641. Вместе с тем неполная индукция является мощным эвристическим методом открытия новых истин, которые подтверждаются иногда спустя много лет. Тот же П. Ферма в 1630 г. сформулировал и другую теорему: “Для любого натурального числа n>2 уравнение x^n+y^n=z^n не имеет решений целых ненулевых числах x,y,z”. Многие математики пытались доказать или опровергнуть это утверждение, но только в 1993 году (спустя 360 лет!) американский математик из Принстонского университета Andrew Wiles (Андре Вайлье) доказал эту теорему.
Метод математической индукции.
Неполная индукция приводит часто к ошибочным результатам. Метод полной индукции имеет лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев человек не может.
Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции. Доказательства этим методом опираются на аксиому, называемую Принципом математической индукции.
