Тема. Основные задачи на решение треугольников

Цель урока: ознакомить учащихся с основными задачами решения треугольников.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Соотношение между сторонами и углами треугольника»

Требования к уровню подготовки учащихся: описывают основные случаи решения треугольников и алгоритмы их решения.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

Фронтальное опрос

1. 1) Сформулируйте теорему косинусов.

2. 2) Как, пользуясь теоремой косинусов, можно найти углы, если известны длины сторон треугольника?

3. 3) Как, зная только длины сторон треугольника, определить вид треугольника (по углам)?

4. 4) Сформулируйте теорему синусов.

5. 5) Как можно найти радиус круга, описанного вокруг треугольника, если известны сторона треугольника и противоположный к ней угол?

6. 6) Сформулируйте теорему о соотношении между углами треугольника и противолежащими сторонами.

7. 7) Сформулируйте теорему о соотношении между сторонами треугольника и противолежащими углами.

Правильность выполнения задачи из домашнего задания проверить по записям на доске, сделанными до начала урока.

Решение

a² = b2 + c² - 2bc cosA; 49 = 4 + 64 - 2 ∙ 2 ∙ 8 ∙ cosA; 49 = 68 - 32cosA;

32cosA = 19; cosA = 0,594; A 54°.

b² = a² + c2 - 2ac cosB; 4 = 49 + 64 - 2 ∙ 7 ∙ 8 ∙ cosB; 4 = 113 - 112cosB;

112cosB = 109; cosB = 0,973; B 13°.

C = 180° - A - B 180° - 54° - 13° = 113°.

Ответ. A 54°, B 13°, C 113°.

II. Анализ самостоятельной работы

III. Поэтапное восприятие и осознание нового материала

Определение треугольника с тремя основными элементами

Из признаков равенства треугольников следует, что треугольник определяется тремя основными элементами, среди которых хотя бы один линейный. Решить треугольник-значит по его тремя данным основными элементами найти три другие элементы.

Из шести основных элементов треугольника по три элемента могут сочетаться такие:

1. 1) сторона и два прилежащие углы;

2. 2) две стороны и угол между ними;

3. 3) две стороны и угол, противоположный одной из сторон;

4. 4) три стороны.

Четыре случаи решения треугольников

В соответствии с этим рассмотрим четыре случая решения треугольников.

1-й случай

Пусть задана сторона а и углы А и В треугольника ABC. Надо найти угол С и стороны b и с треугольника ABC.

С = 180° - ( A + В).

По теореме синусов , найдем .

По теореме синусов , найдем

= = .

Коллективное решение задач

Дано сторона а = 5 и два угла треугольника β = 30°, γ = 45°. Найдите третий угол и две другие стороны треугольника.

Решение

α = 180° - β - γ= 180° - 30° - 45° = 105°.

; ; ; b 2,59.

; ; ; с 3,66.

Ответ, α = 105°, b 2,59, с 3,66.

Самостоятельное решение задач

Дано сторону и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны треугольника, если:

вариант 1: а = 20, α = 75°, β = 60°;

вариант 2: а = 35, β = 40°, γ = 120°.

Вариант 1

Решение

γ = 180° - α - β = 180° - 75° - 60° = 45°.

; ; ; b 17,9.

; ; ; с 14,6.

Ответ. γ = 45°, b 17,9, с 14,6.

Вариант 2

Решение

α = 180° - β - γ = 180° - 40° - 120° = 20°.

; ; ; b 65,8.

; ; ; c 88,6.

Ответ, α = 20°, b 65,8, c 88,6.

2-й случай

Пусть заданы стороны а и b и угол между ними С. Надо найти сторону c и углы В и А. Сторону с найдем по теореме косинусов: c2 = a² + b² - 2ab c.o.s.c., c = .

Угол А можно найти по теореме косинусов:

a² = b² + c² - 2bccosA, отсюда .

Угол А можно найти по теореме синусов:

, отсюда .

Тогда B = 180° - A - C.

Коллективное решение задач

Даны две стороны треугольника b = 14, с = 10 и угол между ними α = 145°. Найдите остальные два угла и третью сторону треугольника.

Решение

a² = b² + c² - 2bc cosα; a2 = 196 + 100 - 2 ∙ 14 ∙ 10 ∙ cos145° 296 + 280 ∙ 0,8192 296 + 229,36 = 525,36; а 22,9.

; ; sinβ 0,3507; β 21°.

γ = 180° - α - β 180° - 145° - 21° = 14°.

Ответ, а 22,9, β 21°, γ 14°.

Самостоятельное решение задач

Даны две стороны треугольника и угол между ними. Найдите остальные два угла и третью сторону треугольника, если:

вариант 1: а = 7, b = 23, γ = 130°;

вариант 2: b = 9, с = 17, α = 95°.

Вариант 1

Решение

с² = а² + b² - 2ab cosγ = 72 + 232 - 2 ∙ 7 ∙ 23 ∙ cos130° 49 + 529 - 322 ∙ (-0,64) = 578 + 206,08 = 784,08; с 28.

a² = b² + c² - 2bccosα; 72 = 232 + 282 - 2 ∙ 23 ∙ 28 ∙ cosα;

49 = 529 + 784 - 1288cosα; 1288cosα = 1264; cosα 0,98; α 11°.

Тогда β = 180° - α - γ 180° - 130° - 11° = 39°.

Ответ. с 28, α 11°, β 39°.

Вариант 2

Решение

a² = b² + c² - 2bc cosα = 92 + 172 - 2 ∙ 9 ∙ 17 ∙ cos95° 81 + 289 - 306 ∙ (-0,09) = 370 + 27,54 = 397,54; a 19,9.

b² = a² + c² - 2accosβ; 92 = 397,54 + 172 - 2 ∙ 19,9 ∙ 17 ∙ cosβ;

81 = 686,54 - 676,6 cosβ; 676,6 cosβ = 605,54; cosβ 0,895; β 26°.

Тогда γ = 180° - α - β = 180° - 26° - 95° = 59°.

Ответ, а 19,9, β 26°, γ 59°.

3-й случай

Пусть заданы три стороны а, b, с треугольника ABC. Надо найти углы А, В, С. По теореме косинусов найдем угол А:

а² = b² + c² - 2bc cosA, отсюда .

Тогда по теореме синусов найдем угол В: , отсюда . И, наконец, С = 180° - (A + В).

Коллективное решение задач

Даны три стороны треугольника a = 1, b = 3, с = 4. Найдите его углы.

Решение

а² = b² + c² - 2bc cosα; 4 = 9 + 16 - 24cosα; 24cosα = 21; cosα = = 0,875; α 29°.

; ; sinβ 0,7272; β 47°.

γ = 180° - α - β 180° - 29° - 47o = 104°.

Ответ, α 29°, β 47°, γ 104°.

Самостоятельное решение задач

Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если:

вариант 1: a = 15, b = 24, с = 18;

вариант 2: a = 23, b = 17, с = 39.

Вариант 1

Решение

a² = b² + c² - 2bc cosα; 225 = 576 + 324 - 864cosα; cosα = 0,7813; α 38,62 39°.

; ; ; ; β 87°.

γ = 180° - α - β 180° - 39° - 87° = 54°.

Ответ. α 39°, β 87°, γ 54°.

Вариант 2

Решение

a² = b² + c² - 2bc cosα; 529 = 289 + 1521 - 1326cosα; 0,9661; α 15°.

; ; ; sinβ 0,1913; β 11°.

γ = 180° - α - β 180° - 15° - 11° = 154°.

Ответ, α 15°, β 11°, γ 154°.

4-й случай

Пусть заданы две стороны а и b и угол А треугольника ABC. Надо найти углы В и С и сторону с.

По теореме синусов имеем .

Если bsinA > a, то задача не имеет решений (поскольку sinβ > 1, что невозможно).

Если bsinA = a, то B = 90°, тогда C = 90° - A, c = bcosA.

Если bsinA a, тогда существуют два углы, синусы которых равны : один из этих углов острый, а второй - тупой.

Если a > b, то A > B. A, поскольку, у треугольника не может быть два тупых угла, то угол В острый и развязок единственный.

Если а b, то существуют два угла В1 и В2 ( B2 = 180° - B1), синусы которых равны . В этом случае задача имеет два решения:

C1 = 180° - A - B1, ;

C2 = 180° - A - B2, .

Коллективное решение задач

1. 1) В треугольнике даны две стороны а = 2, b = 4 и угол α, который противоположен одной из сторон, составляет 60°. Найдите остальные два угла и третью сторону треугольника.

Решение

; ; sinβ = = 2sin60° = 2 ∙ = > 1.

Задача решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

1. 2) Даны две стороны треугольника: а = 6, b = 8 и угол α, который противоположен одной из сторон, составляет 30°. Найдите остальные два угла и третью сторону треугольника.

Решение

; ; sinβ = 0,6667;