Если вероятность 
появления случайного события 
в каждом испытании постоянна, то вероятность 
того, что в 
испытаниях событие наступит ровно 
раз, приближённо равна:
, где 
.
При этом, чем больше , тем рассчитанная вероятность будет лучше приближать точное значению 
, полученное (хотя бы гипотетически) по формуле Бернулли. Рекомендуемое минимальное количество испытаний – примерно 50-100, в противном случае результат может оказаться далёким от истины. Кроме того, локальная теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность ближе к 0,5, и наоборот – даёт существенную погрешность при значениях , близких к нулю либо единице. По этой причине ещё одним критерием эффективного использования формулы 
является выполнение неравенства 
( 
).
Так, например, если 
, то 
и применение теоремы Лапласа для 50-ти испытаний оправдано. Но если 
и 
, то 
и приближение (к точному значению ) будет плохим.
Биномиальное распределение, его математическое ожидание, дисперсия
Рассмотрим серию независимых 
испытаний проведенных в условиях схемы Бернулли, в ходе которых появлялось событие 
с вероятностью 
, одинаковой для всех испытаний.
Необходимо определить закон распределения случайной величины 
числа появлений события . Для этого нужно определить возможные значения и их вероятности. Минимальное значение равно нулю, что соответствует ситуации, когда в серии испытаний событие не появилось; максимальное значение соответствует «успеху» во всех испытаниях серии и равно . Очевидно, что случайная величина числа появлений события в серии испытаний принимает значения 
. Остается найти соответствующие вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:
,
где 
, 
.
Эта формула является аналитическим выражением искомого закона распределения. Эта формула еще называется биномиальной, так как ее правая часть представляет собой 
-й член бинома Ньютона:
.
Отсюда сразу видно, что для полученного закона биномиального распределения вероятностей числа появления события при независимых испытаниях выполняется условие нормировки, т.е. сумма всех вероятностей равна единице:
.
Теорема. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.
Доказательство. Случайная величина распределена по биномиальному закону:
( ),
где .
Величину можно рассматривать, как сумму независимых случайных величин 
, где 
(
) – число появлений события в 
м испытании. Случайная величина принимает лишь два значения: 1, если событие появилось в м испытании, и 0, если в м испытании события не произошло.
Вероятности этих событий и 
, а математическое ожидание: 
( ).
Следовательно, используя теорему о математическом ожидании суммы, получим:
.
Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в условиях схемы Бернулли совпадает со средним числом появлений события в данной серии испытаний.
Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: 
.