ОБ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ МАШИННОГО АГРЕГАТА
С АСИНХРОННЫМ ДВИГАТЕЛЕМ ОТНОСИТЕЛЬНО НОРМИРОВАННОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Н.В. Лощинин, Н.В. Анучин, С.Н. Галицына, А.В. Дёмин
Рязанский институт (филиал)
Московского политехнического университета
Введение. Цели работы:
1) показать целесообразность представления уравнения движения машинного агрегата с асинхронным двигателем относительно его нормированной кинетической энергии и с правой частью, равной приведённому моменту сил, развиваемых агрегатом в начальном движении в смысле Н.Е. Жуковского;
2) выполнить аналитическое исследование приведённых к входному валу исполнительного механизма движущего момента и обобщённого момента сил сопротивления, приложенных к звеньям агрегата в его начальном движении без традиционных упрощающих предположений о его силовых и инерционных параметрах;
3) отметить условность названия последнего момента и дать его физическую интерпретацию.
Такое исследование необходимо, например, для изучения поведения возможных режимов движения агрегата в целом, в частности, периодических устойчивых режимов как практически реализуемых и выяснении условий их существования методами качественной теории дифференциальных уравнений с целью разработки методики их нахождения с любой наперёд заданной точностью.
1. Построение модели. Для широкого класса машинных агрегатов
приведённые момент инерции масс звеньев и момент сил полезного сопротивления являются функциями положения звена приведения, 
, 
Для определённости, в качестве такой системы рассмотрим машинный агрегат с жёсткими звеньями, голономными, стационарными двусторонними связями, редуктором из круглых зубчатых колёс и кривошипно-ползунным исполнительным механизмом, кривошип которого принят за звено приведения. Его схема представлена на рис. 1.
Уравнение движения рассматриваемого машинного агрегата, получаемое из уравнений Лагранжа второго рода [1], обычно записывают относительно угловой скорости 
кривошипа ОА в виде
| (1) |
где
| (2) |
– приведённый момент действующих сил;
| (3) |
– передаточное отношение от вала двигателя к валу кривошипа, реализуемое редуктором;
| (4) |
– приведённый момент инерции масс всех звеньев агрегата, где 
– приведённый момент инерции ротора двигателя, передачи и кривошипа,
 ,
| (2) |
m – масса поступательно движущихся частей механизма (ползуна).
Известно, что при исследовании переходных режимов в электромеханических системах с асинхронным двигателем, в отличие от систем с двигателем постоянного тока, можно пренебречь электромагнитными переходными процессами и пользоваться всегда статической характеристикой двигателя [1]. Это утверждение, естественно, оказывается более справедливым для предельных и, в частности, периодических режимов движения машинных агрегатов с трёхфазным асинхронным двигателем, реализуемым после истечения достаточно больших промежутков времени переходных процессов. Это даёт основание при исследовании динамики таких агрегатов пользоваться характеристикой двигателя, представляемой формулой Клосса [2,3]:
 ,
| (5) |
где 
– скольжение ротора двигателя; 
– его синхронная скорость; 
критический (максимальный) момент, развиваемый двигателем; 
критическое скольжение.
Уравнение движения (1) является нелинейным и, вообще говоря, не интегрируемым в квадратурах. Кроме того, часто применяемая в динамике машин замена переменных 
привела бы
уравнение движения к виду
 ,
| (6) |
в котором приведённый движущий момент оказался бы функцией двух переменных 
и 
, что при 
, в общем случае, приводит к существенной деформации как характеристики двигателя, так и областей двигательного, генераторного и тормозного режимов работы двигателя.
Поэтому с целью исследования возможных законов движения 
и, в частности, нахождения периодических режимов движения машинного агрегата, осуществим замену переменных
 ,
| (7) |
где 
– нормированная кинетическая энергия агрегата, то есть рассчитанная на единицу приведённого момента инерции в положении звена приведения. Её отличительная особенность в том, что она в явной форме не содержит ни угла поворота , ни кинетической энергии системы, ни приведённого момента инерции 
.
Если – угловая скорости звена приведения как один из режимов движения агрегата, то производная от нормированной кинетической энергии агрегата по углу поворота
| (8) |
есть угловое ускорение 
звена приведения в том же его положении . Действительно, по определению углового ускорения имеем
  .
|
Уравнение движения (1) агрегата при этом преобразуется к виду
| (9) |
и может быть положено в основу исследования возможных режимов движения, и, в частности, периодических режимов движения агрегата.
Выясним динамический смысл правой части уравнения (9), заметив, что уравнение (1), из которого оно получено, можно также записать в форме условия динамического равновесия согласно принципу Даламбера-Лагранжа
 ,
|
или, с учётом (7) и (8), преобразовать к виду
 .
|
Следуя Н.Е. Жуковскому [4], истинное движение агрегата в любом положении звена приведения можно разложить на два условных движения. Первое из них – начальное движение, происходящее с угловой скоростью, равной нулю, и угловым ускорением 
, равным действительному угловому ускорению звена приведения, и второе – перманентное с постоянной угловой скоростью , равной действительной мгновенной угловой скорости звена приведения в его положении . Таким образом, правая часть уравнения (9)
|
выражает приведённый момент сил, развиваемый агрегатом в его начальном движении в смысле Н.Е. Жуковского.
2. Приведённый движущий момент. Приведённая к валу кривошипа ОА характеристика двигателя 
представляется композицией функций
 .
| (10) |
где берётся знак плюс для области двигательного и генераторного режимов работы двигателя, и знак минус – для области тормозного режима. В таблице 1 приводятся результаты аналитического исследования характеристики двигателя 
. Они согласуются с итогами её табулирования, выполненными на компьютере для двигателя с фазным ротором 4 AHK 180 6УЗ по его каталожным данным [5]. График приведённого движущего момента изображён на рис. 2. Он состоит из двух однозначных ветвей, примыкающих к точке (0; 
), где – приведённый пусковой момент двигателя. Одна из них относится к двигательному и генераторному режимам, а вторая – к тормозному режиму. Через 
обозначены участки характеристики , соответствующие двигательному, генераторному и тормозному режиму работы двигателя соответственно, а через 
– её критические точки первого и второго порядка.
3. Свойства преобразований областей двигательного и генераторного, а также тормозного режимов двигателя плоскости 
на соответствующие области плоскости 
. Присоединяя к (7) уравнение = , получим отображение 
, = плоскости 
│ 
│ на полуплоскость 
│ 
. В связи с этим рассмотрим его отдельно, для области двигательного и генераторного режимов, где 
, и для области тормозного режима, где 
.
Для каждого такого случая оно будет обратимым и вместе с ним можно рассматривать ему соответствующее обратное отображение:
 ,
| (11) |
| (12) |
Преобразования (11) и (12) взаимно-однозначно и непрерывно отображают области двигательного 
генераторного 
и тормозного 
режимов плоскости на соответствующиеодноимённые области плоскости :
 
|
Таким образом, отображения (11) и (12) областей 
осуществляется с сохранением их топологической структуры. Приведённый к валу кривошипа момент двигателя как композиция трёх функций является непрерывно дифференцируемой функцией нормированной кинетической энергии 
на полуоси 
.
Отмеченные обстоятельства существенно упрощают исследование возможных режимов движения агрегата и, в частности, позволяют при этом использовать свойства стандартной характеристики 
трёхфазного асинхронного двигателя.
4. Обобщённый момент сил сопротивления. Выражение
| (13) |
назовём обобщённым моментом сил сопротивления (см. рис. 3).
Отметим условность такого названия. В критических (стационарных) точках приведённого момента инерции масс звеньев агрегата 
= 0. В таких положениях звена приведения обобщённый момент сил сопротивления (9) совпадает с обычным приведённым к валу кривошипа моментом 
сил полезного сопротивления: 
.
В промежутках изменения угла поворота , в которых за счёт перераспределения масс системы происходит увеличение [уменьшение] инерционных свойств системы 
>0 [ <0], слагаемое 
увеличивает [уменьшает] реально действующий момент сил полезного сопротивления.
При некоторых условиях, налагаемых на скорость 
изменения инерционных свойств системы, закон нагружения исполнительного механизма 
можно выбрать так, чтобы
в области двигательного режима 
, 
. В этом случае 
в любом положении звена приведения оказывает тормозящее воздействие на движение системы, чем и оправдывается название «обобщённый момент сил сопротивления».
Для выполнения этого требования необходимо и достаточно, чтобы
и, кроме того, момент сил полезного сопротивления, совпадающий здесь с «начальным» или «пусковым» обобщённым моментом сил сопротивления, должен быть меньше приведённого пускового момента двигателя,
Итак, должны быть выполнены условия:
где точкой обозначена операция дифференцирования приведённого момента инерции по углу поворота .
Эта система может быть записана в равносильной форме
| (14) |
Физическая интерпретация первого из неравенств (14) очевидна: момент 
сил полезного сопротивления не имеет реактивный характер и обеспечивает запуск агрегата из любого положения звена приведения. Второе из неравенств (14) накладывает ограничение на скорость изменения инерционных свойств системы и, следовательно, на составляющую 
обобщённого момента сил сопротивления, обусловленную интенсивностью перераспределения масс системы в процессе движения.
Характер закона нагружения исполнительного механизма определяется спецификой технологического процесса, для осуществления которого предназначен агрегат. Наиболее типичные законы нагружения описаны в литературе по динамике машин [6].
Для машин, у которых время разбега и выбега мало по сравнению с общим временем движения, выбор двигателя обычно осуществляют из условия, чтобы средний момент сил полезного сопротивления за полный цикл 
изменения угла поворота, 
был равным приведённому номинальному моменту 
двигателя
| (15) |
Так, в случае закона нагружения 
при 
, 
равенство (12) приобретает вид 
= 
.
Заключение. В итоге, обосновано представление уравнения движения машинного агрегата с асинхронным двигателем в форме (9) или, в более подробной записи,
.
– с правой частью, равной приведённому моменту сил, развиваемых агрегатом в его начальном движении в смысле Н.Е. Жуковского.
Осуществлено аналитическое исследование приведённых движущего момента и обобщённого момента сил сопротивления, приложенных к звеньям агрегата в его начальном движении без традиционных упрощающих предположений о его силовых и инерционных параметрах.
Дана физическая интерпретация условий, налагаемых на приведённый момент сил полезного сопротивления 
и на инерционные свойства агрегата, определяемые его приведённым моментом инерции .
Полученные результаты могут заинтересовать специалистов по нелинейной динамике машин и применимы для факультативов и семинарских занятий по теоретической и прикладной механике.
ЛИТЕРАТУРА
1. Левитский Н.И. Теоретическая механизмов и машин. М.: Наука, 1990. – 592 с.
2. Чиликин М.Г., Сандлер А.С.Общий курс электропривода. М. Энергоиздат, 1981. 576 с.
3. Вешеневский С.Н.Характеристики двигателя в электроприводе М.: Энергия, 1977. 432 с.
4. Жуковский Н.Е.Сведение динамических задач о кинематической цепи к задачам о рычаге. Собр. соч., т.III, М.-Л. Гостехиздат, 1949. С. 334-384.
5. Кравчик А.Э., Шлаф А.М., Афонин В.И., Соболевская С.А.Асинхронные двигатели серии 4А (справочник). М.: Энергоиздат, 1982. 504 с.
6. Столярчук В.Ф., Рачинец Н.Ф., Гладьо В.М.Исследование движения машин, оборудованных электроприводом. Изд-во Львовского университета. 1972. 170 с.
ПРИЛОЖЕНИЯ
(в файле формата PDF рисунки 1-3 и таблица 1)
1. Схема (рис. 1) машинного агрегата, структурно представленная тремя частями: двигателем, передаточным механизмом (редуктором) и рабочей машины (с кривошипно-ползунным исполнительным механизмом).
2. Графики характеристики двигателя 
относительно нормированной кинетической энергии агрегата (рис. 2) и обобщённого момента сил сопротивления (рис. 3).
3. Результаты аналитического исследования приведённого движущего момента как функции нормированной кинетической энергии (таблица 1).