где si и sj — дисперсии процессов различения i-го и j-го стимулов, соответственно, а ri,j— есть корреляция между мгновенными значениями процессов различения стимулов i и j.
Рассмотрим теперь следующую ситуацию. Пусть наблюдателю предъявляются пары стимулов i и j и от него требуется осуществить суждение, какой из стимулов дальше отстоит от нуля на психологическом континууме (например, более тяжелый или более сложный, или более красивый и т.д.). На рис. 1 показаны гипотетические процессы различения стимулов i и j.
Предполагается, что если различительный процесс для стимула j окажется на психологическом континууме выше, чем для стимула i, т.е. если различительная разность (dj - di) > 0, то последует суждение, что стимул j больше, чем стимул i. И соответственно при (dj - di) < 0 — произойдет обратное суждение.
 |
Рис.1. Гипотетическая модель процесса различения 2-х стимулов
 |
Рис. 2. Гипотетическое распределение процессов различения стимулов Sj и Si на психологическом континууме: заштрихованная область указывает частоту суждения: стимул j больше, а незаштрихованная — стимул j меньше; dij - различие шкальных значений стимулов i и j, измеренное в единицах стандартного отклонения данного распределения — s (dj-di)
Однако, если распределения различительных процессов перекрываются, то суждение, что стимул j меньше, чем стимул i может произойти даже тогда, когда величина Sjна психологическом континууме больше, чем величина Si. На рис. 2 показано распределение различительных разностей при большом числе суждений.
Среднее распределения равно различию шкальных величин двух стимулов — (Sj - Si). Это различие можно найти из таблицы областей под единичной нормальной кривой, зная пропорцию суждений стимул j больше, чем стимул i от общего числа суждений по данной паре стимулов (т.е., сделав стандартное преобразование “p ® z”).
В единицах дисперсии s(dj- di) это можно записать так:
Sj - Si= zj,is(dj- di), (2)
где zj,i— обозначает искомое различие.
Подставляя это выражение в уравнение (1), получим:
Sj - Si = zj,i(sj2+ si2-2ri,jsisj)1/2. (3)
Уравнение (3) и выражает в общем виде закон сравнительных оценок Терcтоуна.
§ 2. Процедура измерения
Эмпирическим материалом, на котором основан закон Терcтоуна, служат суждения по типу: “стимул i более... тяжелый, интересный, красивый и т.д., чем стимул j”. Прямой метод для получения таких оценок называется методом парных сравнений. В принципе это тот же самый метод константных стимулов, только в данном случае в качестве эталона выступает поочередно каждый стимул. Испытуемый осуществляет попарное сравнение всех стимулов. Каждое сравнение производится много раз. На основании этих сравнений для каждой пары определяется частота предпочтения одного стимула другому. Квадратная матрица (n x n) этих частот (обозначим ее буквой F) представляет исходные данные. Диагональные элементы этой матрицы будут пустыми, поскольку идентичные пары обычно не предъявляются. Очевидно, что сумма элементов fi,jи fj,iв сумме будет равна общему числу сравнений.
Последующий анализ заключается в переходе от матрицы частот (F) к матрице вероятностей (обозначим ее буквой P). Элемент этой матрицы pi,jесть пропорция числа предпочтений i-го стимула j-му в общем числе сравнений этих двух стимулов. Диагональ матрицы P также не заполнена, а сумма симметричных элементов относительно этой диагонали равна единице (т.е. pi,j+ pj,i= 1). Из матрицы вероятностей уже легко определить матрицу различий Z, памятуя о том, что различие выражается в единицах нормального отклонения. Значение zi,jдля соответствующей вероятности можно определить по таблице областей под единичной нормальной кривой. Для всех pi,j>0,5 величина z будет положительна, а для всех pi,j<0,5 — отрицательна. Для pi,j=1 или pi,j=0 zi,jне существует. Предполагая, что pi,i = pj,j =0,5, диагональные элементы матрицы Z приравниваются нулю. Поскольку zi,,j= -zj,i, то матрица будет косо-симметрична. Таким образом определяется матрица Z, элемент которой zi,jявляется оценкой различия (Si- Sj) между шкальными значениями двух стимулов, измеренной в единицах стандартного отклонения в распределении различительных разностей. Каждый независимый элемент матрицы Z (а их, очевидно, будет n(n-1)/2) дает оценку различия для одного из уравнений (3) — как теоретической модели закона сравнительных оценок.
Рассмотрим теперь, как соотносятся исходные данные с теоретической формой их выражения. Число независимых элементов в матрице F равно n(n-1)/2, где n — число стимулов. Тогда как закон сравнительных оценок, выраженный в формуле (3), имеет для тех же n стимулов и n неизвестных шкальных значений, n неизвестных дисперсий различительных процессов и n(n-1)/2 неизвестных корреляций. Совершенно очевидно, что при таком соотношении числа уравнений — n(n-1)/2 и числа неизвестных — 2n+n(n-1)/2, решить данную систему невозможно. Поэтому необходимо ввести условия, упрощающие структуру выражения (3).
§ 3. Упрощенные варианты закона сравнительных суждений
Терcтоун рассматривал 5 вариантов применения этого закона. Первый вариант — это та исходная общая форма закона, о которой уже говорилось. Второй вариант рассматривает изменение экспериментальной методики, обращаясь от оценок, производимых одним испытуемым, к групповым оценкам. Каждый испытуемый в этом случае производит только одно сравнение. И только третий, четвертый и пятый варианты вводят дополнительные допущения, которые меняют общую форму выражения (3).
Торгерсон (1958) предложил развести эти варианты на два класса. К первому классу относятся изменения в методике проведения эксперимента. Это первый и второй варианты Терcтоуна, и кроме того, Торгерсон предложил отнести сюда и смешанный опыт, когда несколько испытуемых сравнивают по несколько пар и все оценки сводятся в общую матрицу частот. Ко второму классу относятся изменения в форме закона сравнительных оценок. Сюда относятся 3, 4 и 5 варианты Терcтоуна или, соответственно, условия А, В и С, которые предложил Торгерсон.
III вариант Терcтоуна. Предполагается, что корреляция между различительными процессами ri,jв выражении (3) равна нулю. В таком случае закон сравнительных оценок принимает форму:
Sj - Si= zj,i(s2j + si2)1/2. (4)
Торгерсон предлагает здесь менее жесткое ограничение, с условием (условие А), что ковариация в выражении (3) — равна постоянной величине (d). Тогда:
Sj - Si = zj,i(sj2+ si2 - d)1/2. (5)
Но практически выражения (4) и (5) идентичны, поскольку ковариация является постоянной только тогда, когда корреляция стремится к нулю.
IV вариант Терстоуна основывается на допущении, что ri,j=0 и что дисперсии различения мало отличаются друг от друга, т.е. si= sj+ d, где d мало по сравнению с sj. Тогда выражение (3) преобразуется в
Sj - Si = zj,i[sj2+ (sj+ d2)]1/2. (6)
Раскрывая скобки и делая ряд преобразований и упрощений, получаем окончательную форму четвертого варианта закона:
Sj - Si = zj,iс(sj + si), (7)
где с — постоянный множитель.
Более слабое допущение Торгерсона (условие В) о константности корреляции приводит к выражению:
Sj - Si = zj,i[1/2(1 - r)1/2(sj + si)]. (8)
Выражения (7) и (8) отличаются только постоянными членами, поэтому вариант Торгерсона имеет определенные преимущества.
V вариант закона сравнительных оценок Терстоуна нашел наибольшее применение вследствие простоты своей формы. Этот вариант основывается на допущении нулевой корреляции между двумя процессами различения (r = 0) и равенства различительных дисперсий этих процессов (sj = si= s). Тогда выражение (4) преобразуется в:
Sj - Si = zj,is. (9)
Обозначив константный член уравнения буквой “c”, получим:
Sj - Si = сzj,i. (10)
Уравнение (10) совпадает по своей общей форме с различными модификациями данного варианта, которые предлагали впоследствии некоторые авторы. Наиболее интересная модификация предложена Мостеллером (1951) и состоит в допущении равенства дисперсий и константной корреляции. В этом случае величина “с” в уравнении (10) будет равна [2(1 - r)]1/2, а уравнение приобретает следующий вид:
Sj - Si = zj,i[2(1 - r)]1/2. (11)
Сравнивая упрощенные варианты (4), (7), (10) с исходной формулой (3), легко видеть, что даже наиболее сложный из упрощенных вариантов (4) уже имеет, по крайней мере теоретически, решение, когда число стимулов (n) равно 5. Остальные варианты еще проще. Но практическая процедура всегда более трудоемка и менее изящна, чем это обещает теоретическая модель. Причина этого в основном лежит в эмпирической природе исходных оценок, в их зашумленности множеством случайных факторов, от которых невозможно оградить испытуемого. Для устранения случайных ошибок предлагается следующая тактика. Число стимулов увеличить так, чтобы система уравнений была значительно переопределена. Например, для варианта III брать не 5 стимулов, а 10 – 15. Для окончательного решения использовать итеративную вычислительную процедуру, которая учитывает тот факт, что случайные ошибки имеют тенденцию взаимоуравновешиваться.
Такие процедуры были разработаны разными авторами, и в данной работе будет описан алгоритм Мостеллера (1951) для V варианта закона в модификации Торгерсона (1958). Алгоритм использует решение методом наименьших квадратов. Он позволяет получить более точные оценки шкальных значений из матрицы в случае, если она не имеет пустых элементов.
§ 4. Процедура решения V варианта закона сравнительных оценок для полной матрицы
В V варианте закона, записанном в общем виде (9), единицы измерения шкальных значений всегда можно подобрать так, чтобы константа “с” была равна 1. Тогда:
Sj - Si = zj,i. (12)
В случае отсутствия ошибок в оценках искомое различие будет равно наблюдаемому (обозначим его z'j,i). Но в результате ошибок между z'j,iи zj,iбудет некоторое расхождение a. Задача заключается в получении такого множества оценок шкальных значений стимулов, для которых сумма квадратов всех расхождений является минимальной, т.е. необходимо минимизировать величину
(13)
Подставив вместо zi,jшкальные значения, получим:
 |
(14)
Все a i,jдля всех zi,jиз матрицы Z дадут матрицу ошибок a. Чтобы минимизировать каждую a i,j, необходимо взять частную производную a i,jпо Siи Sj. Каждое частное значение Siв матрице ошибок a появляется только в i-той строке и i-том столбце, но поскольку матрица ошибок так же кососимметрична [zi,j= -zj,iи (Si-Sj)= -(Sj-Si)], как и матрица Z, то для каждой Siчастная производная будет касаться только i-го столбца. Дифференцируя элементы каждого столбца по Si, получим:
 |
(15)
где i = 1,2..., n.
Приравняем частную производную нулю и после переноса получим:
(16)
Разделим выражение (16) на n и возьмем начальное значение шкалы, равное. В результате получим:
(17)
где i=1,2..., n
Таким образом, для минимизации ошибки необходимо просто взять среднее арифметическое по столбцу матрицы Z и мы получим оптимальное значение шкальной величины Si.
Рассмотрим практический пример решения V варианта закона сравнительных оценок методом наименьших квадратов (данные вымышлены). Испытуемому в случайном порядке предъявляются 6 цветных карт из малого набора теста Люшера и просят в каждой паре выбрать наиболее красивый. Каждая пара предъявляется по 50 раз. В итоге для одного из испытуемых была получена следующая матрица частот F (табл.1):
Таблица 1
Матрица частот F
 |
Примечание. Элементом матрицы fi,jявляется частота, с которой в паре j,i стимул i оценивался более красивым, чем стимул j.
Полученная матрица частот F преобразуется в матрицу вероятностей P делением частоты fi,jна число предъявлений (N=50).
Таблица 2
Матрица вероятностей P
Примечание. Элементом матрицы pi,jявляется вероятность, с которой стимул i в паре j,i оценивался более красивым, чем стимул j.
Каждое значение вероятности pi,jиз матрицы P переводится далее с помощью таблицы в единицы стандартного отклонения нормальной кривой — zi,j, по которым и вычисляются шкальные значения Siкаждого стимула.
Таблица 3
Матрица Z ‑ оценок
 |
Примечание. Элементом матрицы zi,jявляется вероятность pj,i, преобразованная в единицы стандартного отклонения.
Рассмотренная процедура дает возможность для каждого стимула Siполучить его значение на шкале интервалов.
§ 5. Процедура решения V варианта закона сравнительных суждений для неполной матрицы исходных данных
Реальные экспериментальные данные очень часто отличаются от той классической матрицы данных, которая анализировалась выше. Наиболее распространенный артефакт в процедуре парного сравнения, который связан с ограничением на возможное число предъявлений, — стопроцентное предпочтение одного стимула другому, что приводит к появлению в матрице вероятностей нулей и единиц. Ноль и единица в терминах модели Терcтоуна не несут сравнительной информации о различии стимулов, поэтому не могут быть использованы для расчетов шкальных значений стимулов.
Для матриц с нулями и единицами (они называются неполными матрицами) существуют особые алгоритмы анализа. Наиболее распространенный из них подробно описан в работе Торгерсона (1958) и вкратце состоит в следующем.
Из выражения (12) для стимула j следует, что стимул j+l будет описываться следующим выражением:
Sj+e - Si = zj,i+e. (18)
Вычтя из уравнения (18) уравнение (12), мы получим сравнительное различие для интересующего нас стимула косвенным путем. В терминах минимизированной ошибки эта величина может быть вычислена из выражения:
(19)
где nj— есть индекс суммирования.
Для практического удобства матрицу Z следует перестроить таким образом, чтобы столбцы были упорядочены по величине. Порядок столбцов в матрице Z определяется суммой по столбцу матрицы P. Для такой упорядоченной матрицы Z различие Sj+e - Siможно прямо вычислить из выражения (19). Если мы шкальное значение первого стимула (Si) приравняем к нулю, то шкальное значение любого стимула есть сумма шкального значения стимула и расстояния между данным стимулом и предшествующим:
S1= 0,
S2= d1,2,
S3 = S2+ d2,3,
Sn= Sn-1+dn-1,n. (20)
Рассмотрим практический пример решения для неполной матрицы частот, взятый из работы Торгерсона (1958). Пусть нам дана матрица вероятностей предпочтения i-го стимула j-му с некоторыми вырожденными (пустыми) элементами, равными 0 или 1.
Таблица 4
Матрица вероятностей P
 |
Примечание. Элементом матрицы pi,jявляется вероятность, с которой стимул i в паре j,i оценивался более предпочтительным, чем стимул j.
Преобразуем вероятности pi,jв единицы стандартного отклонения нормального распределения — zi,j.
Таблица 5
Матрица Z — оценок
 |
Примечание. Элементом матрицы Zi,jявляется вероятность pj,i, преобразованная в единицы стандартного отклонения.
Таблица 6
Матрица Z' — оценок
 |
Примечание. Элементом матрицы Z ’i,jявляется вероятность p’j,i, преобразованная в единицы стандартного отклонения.. Столбцы упорядочены по возрастанию
Переставим столбцы в матрице Z в таком порядке, чтобы первый столбец имел наименьшую сумму элементов, а последний — наибольшую.
Из матрицы Z' можно получить матрицу различий между соседними парами столбцов, вычитая их поэлементно один из другого. В каждой j-й строке элемент этой матрицы будет равен (zj,i+1- zj,i).
Пользуясь выражением (20), вычисляем из полученных различий шкальные значения стимулов, приняв, что S1= 0:
S1= 0,
S3 = 0 + 1.5 = 1.5,
S5= 1.5 + 0.53 = 2.03,
S4= 2.03 + 0.98 = 3.01,
S2= 3.01 + 0.56 = 3.97.
Из рассмотренной процедуры видно, что недостающие элементы матрицы компенсируются наличием внутренней связи между элементами столбца, что позволяет рассматривать разность между столбцами матрицы как результат алгебраической интерполяции отсутствующих элементов в столбце.
Таблица 7
Матрица разностей между столбцами
 |
Литература
1. Терстуон Л.Л. Психофизический анализ // Проблемы и методы психофизики / Под ред. А.Г.Асмолова, М.Б.Михалевской. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974.
2. Guilford J. P. Psychometric Methods. N. Y., Toronto, London: Mc-Grow-Hill, 1954.
3. Torgerson N.S. Theory and Method of scaling. N. Y.: John Wiley and Sons, 1958.
Методические указания по выполнению учебного задания по теме “Метод парных сравнений”
Задание 1. Построение шкалы цветовых предпочтений методом парных сравнений
Цель задания: Освоить метод парных сравнений для построения шкалы интервалов. Сравнить построенную шкалу со шкалой порядка, полученную методом балльной оценки.
Методика
Аппаратура. Задание выполняется на IBM-совместимом персональном компьютере. Для предъявления сигнала “Внимание” используются головные телефоны, соединенные со звуковым синтезатором персонального компьютера. Для выполнения учебного задания используется компьютерная программа parcom.exe и mbe.exe 1.
Стимуляция. На экране монитора предъявляются цветные прямоугольники из набора восьмицветного теста цветовых предпочтений Люшера: синий, зеленый, красный, желтый, фиолетовый, коричневый, черный и серый.
Процедура опыта. При отработке задания каждый студент выступает сначала в роли испытуемого, а затем обрабатывает собственные данные. Испытуемый сидит на расстоянии 1 м от экрана дисплея. Опыт состоит из 2-х серий.
В первой серии испытуемому предлагается оценить по 10-балльной шкале приятность каждого цвета. Для этого на экране монитора ему предъявляется вертикальная графическая шкала с десятью оценочными градациями от “невообразимо приятный — 10 баллов” до “невообразимо неприятный — 0 баллов”. Внизу экрана в случайном порядке расположены 8 цветных прямоугольников. Используя клавиши управления движением курсора <> и <®>, испытуемый может перемещать белую рамку от одного прямоугольника к другому и, таким образом, осуществлять свой выбор. Выбрав тот стимул, который нужно оценить, испытуемый нажимает на клавишу “Tab” и вводит нужное число от 0 до 10. Cправа от графической шкалы на соответствующем месте появляется прямоугольник того же цвета, а в нижнем ряду он исчезает. Действуя таким образом, испытуемый поочередно оценивает все 8 стимулов.
Во второй серии цветные прямоугольники предъявляются парами, и задача испытуемого заключается в том, чтобы оценить, какой из 2-х цветов ему нравится больше. Для ответа используются две клавиши управления движением курсора: < > (левый нравится больше) и < > (правый нравится больше). Как только испытуемый дает ответ, на экране появляется следующая пара стимулов. Всего предъявляются 144 пробы, т.е. все цвета встречается друг с другом по 6 раз. Три раза каждый из цветов предъявляется слева, три раза — справа. В верхнем правом углу экрана каждый раз высвечивается порядковый номер пробы.
Обработка результатов. После опыта студенту выдается компьютерная распечатка, в которой представлены: 1) по результатам первой серии — балльные оценки всех 8 цветов; 2) по результатам второй серии — усредненная по 6 предъявлениям матрица частот (F) — 8x8, элементом матрицы fi,jявляется частота, с которой в паре j,i стимул i оценивался более красивым, чем стимул j. При необходимости можно переписать на дискету файл с данными: его имя соответствует фамилии испытуемого, написанной латинскими буквами, а расширение — mpc.
Обработка результатов заключается в построении по каждой серии индивидуальной и групповой шкал1. По данным, полученным в первой серии, строится шкала порядка, по данным второй серии — шкала интервалов. Для получения групповых данных каждый испытуемый должен свести в таблицу и усреднить свои данные с данными других четырех испытуемых. Причем в академической группе студентов (как правило, 12 — 15 человек) не должно быть повторяющихся результатов.
Обсуждение результатов. При обсуждении полученных результатов каждый испытуемый должен сравнить расположение стимулов по шкале порядка и шкале интервалов и сделать заключение о преимуществах и недостатках каждого метода. Стоит подумать о метрических преимуществах шкалы интервалов, и об отражении в шкальных значениях более тонких особенностей сходства или различия между стимулами. Кроме того, необходимо дать сравнительную оценку индивидуальной и групповой шкал.
Следует также сопоставить исходные положения модели с полученными в эксперименте результатами и сделать выводы (сравнительно с другими методами) о преимуществах и недостатках метода парных сравнений.
Глава 3. МЕТОДЫПРЯМОЙ ОЦЕНКИ
Согласно наиболее распространенной точке зрения группу методов, которые позволяют получить количественную оценку психологической величины на шкале интервалов или отношений как непосредственный результат измерительной процедуры, называют методами прямого шкалирования. Прямое шкалирование базируется на предположении о наличии у человека внутренней шкалы измеряемого психологического признака, имеющей начальную точку и единицу измерения, и, следовательно, способности выносить количественные суждения относительно своих ощущений. Другие, рассмотренные выше методы одномерного шкалирования (методы балльных оценок и парных сравнений), являются прямыми только для порядковой шкалы. Шкалы более высокого порядка могут быть построены при использовании этих методов только в случае введения дополнительных теоретических допущений, например, допущение о нормальном характере распределения измеряемого признака дает возможность получить вместо порядкового измерение на шкале интервалов.
Другой смысл названия прямого шкалирования состоит в том, что им подчеркивается простота, наиболее короткий путь от измерительной процедуры, в которой исследователь получает “сырые” данные, до построения субъективной шкалы, поскольку шкальное значение измеряемого психологического признака выражено в содержании ответа испытуемого. Конструирование шкал интервалов или отношений с помощью непрямых методов (косвенное шкалирование) требует помимо дополнительных теоретических допущений еще и ряда статистических манипуляций, т.е. осуществляется более опосредованным и трудоемким путем.
Во всех методах прямого шкалирования используются два типа организации ответных реакций испытуемого в ходе измерения: процедура оценки, когда от испытуемого требуется только сообщать свои суждения о предъявляемых ему объектах, и процедура воспроизведения, с помощью которой экспериментатор узнает о субъективных оценках испытуемого по тому, как он воспроизводит заданные величины, интервалы или ощущения, регулируя величину измеряемого параметра объекта.
К числу прямых методов, приводящих к интервальной шкале, относится метод кажущихся равными интервалов (другое его название – метод категориальной оценки), метод последовательных интервалов и метод равных сенсорных расстояний (иначе он называется методом воспроизведения категорий).
Шкала отношений может быть получена непосредственно из результатов измерения при использовании метода оценки отношений, метода постоянных сумм, метода установления заданного отношения (фракционирование и мультипликация), метода оценки величины и метода воспроизведения заданной величины.
Заслуга введения этих методов в широкую практику психологических измерений принадлежит С.С. Стивенсу. Ниже будут подробно рассмотрены два метода из перечисленных выше – метод установления заданного отношения и метод оценки величины.
§ 1. Метод установления заданного отношения
1. Модификации метода установления заданного отношения.
Известны две модификации метода установления заданного отношения: метод фракционирования (деления) и метод мультипликации (умножения). В методе фракционирования (деления) испытуемому предъявляют поочередно несколько стандартных стимулов (Sst) и просят подобрать к каждому из них среди предъявляемых ему на сравнение стимулов (Sc) такие, величины которых составляют заданную часть от соответствующих Sst. Обычно задаются простые дроби типа 1/n = 1/2, 1/3 и т.п. Чаще всего используется 1/n = 1/2, т.е. “деление пополам”. При подборе стимула, находящегося в заданном отношении к Sst, используются процедуры оценки или воспроизведения.
Метод мультипликации (умножения) отличается от фракционирования только тем, что испытуемый должен подбирать к стандартному стимулу такой, который превышает его в заданное число раз, т.е. n>1.
2. Требования к шкалируемому признаку.
Методы фракционирования и мультипликации могут применяться для шкалирования только в том случае, когда шкалируемый признак удовлетворяет двум условиям:
1. Испытуемый должен иметь возможность наблюдать изменение переменного стимула, с помощью которого он подбирает заданное отношение, как непрерывное или с очень малым шагом. В противном случае он не сможет точно установить заданное отношение.
2. Субъективному шкалируемому признаку должна соответствовать физическая шкала стимулов, поскольку построение субъективной шкалы данным методом возможно только через определение психофизической функции, связывающей величины ощущений со стимульными значениями. Дело в том, что методом установления заданного отношения можно измерить (т.е. сопоставить со шкальными значениями одной и той же шкалы отношений) ощущения, вызванные не всеми, а только некоторыми стимулами (Sst). Например, если заданное отношение равно 1/n, то однозначно могут быть определены шкальные значения ощущений, вызванных только стимулами, равными na, где a = ± 1,2,3,...,n. Если 1/n = 1/2, то в эксперименте можно получить только следующие шкальные значения: 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16... Но для любого шкального значения, лежащего между соседними, вызванными стимулами naи na+1, в общем случае нельзя однозначно указать соответствующий ему стимул. Им может быть любой стимул, лежащий между naи na+1, и определить его можно только при наличии психофизической функции.