Исследование взаимного расположения линии 2-го порядка и прямой на плоскости.

Возьмем на плоскости линию 2-го порядка (ЛВП), заданную уравнением (27.1) и прямую , заданную параметрическим уравнением:

(27.2)

Найдем точки пересечения прямой и ЛВП (обозначим ), для этого решим систему уравнений (27.1) и (27.2). Подставим и из (27.2) в (27.1), получим

Исследуем полученное квадратное уравнение. Рассм. cлучаи:

1. Если , тогда рассмотрим дискриминант .

a. Если , тогда прямая пересекает в 2 точках.

b. Если , то общих точек у прямой и ЛВП нет.

c. Если , то прямая пересекает в 1 точке (2 совпавшие точки пересечения).

2. Если , тогда ур-е принимает вид .

a. Пусть , тогда , т.е. прямая пересекает ЛВП в 1 точке.

b. Пусть и , то - любое, т.е. .

c. Пусть и , тогда - любое, т.е. .

5. Направление, определяемое ненулевым вектором , называется асимптотическим направлением относительно линии , если прямая, параллельная вектору , либо имеет с линией не более одной общей точки, либо содержится в линии . Направление называется асимптотическим т.т., когда .

Выясним кол-во асимптотических направлений для каждой прямой. Запишем уравнение: , откуда . Значит,

1) Если , то 2 асимптотических направления (линия гиперболич. типа);

2) Если , то нет асимптотических направлений (линия эллиптич. типа);

3) Если , то 1 асимптотическое направление (линия параболич. типа).

Точка ЛВП называется ее особой точкой, если она является ее центром симметрии.

Прямая называется касательной к ЛВП в ее неособой точке, если она пересекает ее в 2-х совпавших точках.

Напишем уравнение прямой , проходящей через точку и заданной уравнением (27.2). Подставим (27.2) в (27.1), получим (см. выше):

, т.к. , то . Тогда получим, что Решением этого уравнения будут 2 совпавших корня т.т.т., когда . Т.о., прямая, заданная направляющим вектором и точкой будет касательной к линии в т. , если , т.е. .

6. Теорема 2. В каждой обыкновенной точке ЛВП существует одна и только одна касательная. Если линия задана общим уравнением (27.1), то касательная в точке этой линии имеет уравнение:

. Касательная к эллипсу: в точке . Здесь , , , , поэтому уравнение примет вид: .

Касательная к гиперболе: в точке . Очевидно, имеет вид .

Касательная к параболе: в точке . Итак, , , , поэтому уравнение примет вид: .

7. Диаметры ЛВП. Возьмем на плоскости некоторую ЛВП, заданную общим уравнением (27.1). назовем хордой этой линии отрезок, концы которого принадлежат этой линии.

Теорема 3. Если задан вектор , имеющий не асимптотическое направление относительно ЛВП , то точка будет серединой хорды, параллельной вектору т.т.т., когда .

Возьмем множество всех середин хорд, полученных при пересечении прямых, параллельных вектору , с , тогда для каждой середины будет выполняться равенство:

или

(27.3)

Диаметр, сопряженный вектору , относительно ЛВП заданной общим уравнением, определяется уравнением (27.3).

Пусть - линия 2-го порядка. Вектор - вектор неасимптотического направления для кривой . Множество середин хорд, параллельных вектору , называется диаметром кривой 2-го порядка, сопряженным вектору .

Два диаметра называются сопряженными относительно ЛВП, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.

Направление вектора называется сопряженным направлению вектора , если выполняется равенство:

(27.4)

Направление называется главным относительно ЛВП, если оно сопряжено с перпендикулярным направлением.

Пусть вектор имеет главное направление. Возьмем один из перпендикулярных ему векторов . Тогда для этих векторов выполняется условие (27.4), которое будет иметь вид: Получено условие для нахождения координат вектора главного направления.