Пусть на отрезке [a, b] уравнение x=f(x) имеет единственный корень и выполняются условия:
1. Функция y=F(x) определена и дифференцируема на [a, b];
2. [a, b] для всех х из [a, b];
3. Существует такое действительное число q, что , для всех х из [a, b];
Тогда итерационная последовательность xn=f(xn-1) сходится при любом начальном значении x0 [a, b].
Это условие не является необходимым, т.е. итерационная последовательность может сходиться и в том случае, если условия теоремы не выполняются.
Оценка погрешности метода итерации
Пусть , тогда или . Это значит, что процесс итерации надо продолжать до тех пор, пока модуль разности двух соседних приближений не станет меньше .
1.5. Уточнение корней методом хорд
Пусть уравнение F(x)=0 имеет единственный корень на отрезке [a, b]. Если отрезок [a, b] достаточно мал, то можно считать, что функция y=F(x) монотонна на этом отрезке и не меняет направление выпуклости. Значит на отрезке [a, b] нет точек максимума и минимума, т.е. . Т.к. направление выпуклости не меняется то и . Получаем четыре вида графиков, которые объединяются в два типа.
I. тип. Условие: , где x- любая точка [a, b].
| II. тип. Условие: , где x- любая точка [a, b]. |
Пусть x* - искомый корень уравнения F(x)=0. Заменим кривую графика на хорду АВ. Уравнение прямой, проходящей через точки А (а, F(а)) и В(b, F(b)) имеет вид: , где (x, y) – любая точка прямой АВ. В качестве этой точки возмем точку пересечения хорды с осью ОХ, т.е.
(x1, 0). Получим или.
Рассмотрим случай, когда кривая графика функции y=F(x) относится к I типу. Через точки А1 и В проводим следующую хорду. Она пересекает ось ОХ в точке х2. Аналогично получаем
,
…………………………………
(1)
Полученная таким образом формула (1) называется формулой метода хорд для кривых I-го типа.
Очевидно, что последовательность значений х1, х2, х3, …,хn стремится к корню уравнения х*, а значит этот корень можно найти с заданной точностью.
(2)
Если на n-ом шаге , то считается, что необходимая точность е достигнута.
1.6. Уточнение корней методом касательных
При уточнении корней методом касательных все функции делятся на два типа, как и в методе хорд. Рассмотрим кривую I-го типа.
Проведем касательную к графику функции в точке В. Она пересечет ось ОХ в точке х1. Через эту точку проведем прямую перпендикулярную оси ОХ до пересечения с графиком функции. Получим точку А1. Через неё опять проведем касательную. Получим точку х2. Продолжая этот процесс, получим последовательность х1, х2, х3, …,хn, сходящуюся к х*.
Если на n-ом шаге , то считается, что необходимая точность е достигнута.
1.7. Уточнение корней комбинированным методом хорд и касательных
Методы хорд и касательных дают приближение корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом. В этом случае процесс уточнения корня идет быстрее.
Метод реализуется по следующей схеме:
1. По методу хорд находят первое приближение корня .
2. По методу касательных находят . Если кривая относится к I-му типу, то . Если ко II-му типу, то .
3. По методу хорд .
4. По методу касательных .
Шаги 3 и 4 повторяются до тех пор, пока . Как только можно считать корень найденным .