Метод заданного комплексного потенциала.

Лекция 3

Учебник К.С.Демирчян, Л.Р.Нейман, Н.В.Коровкин, В.Л.Чечурин «Теоретические основы электротехники», том 3, изд.4, 2003 (или любое другое издание этого учебника).

Понятия о плоскопараллельном поле, функции потока, комплексном потенциале поля изложены в параграфах 24.8, 24.9 (стр.44-49).

Поле двухпроводной линии передачи, поле несоосных цилиндров изложены в параграфах 24.12, 24.13 (стр.52-56).

Остальной материал лекции изложен ниже.

Применение функций комплексного переменного.

Если плоскость x,y рассматривать как плоскость комплексного переменного z = x+jy = r·e ^{j q}, то функции U(x,y) и V(x,y) можно рассматривать как составляющие некоторой комплексной функции W = W(z) = W(x,y), называемой комплексным потенциалом плоскопараллельного электрического поля:

W = V + j U.

Здесь V и U – вещественная и мнимая части комплексного потенциала, а z – комплексная координата точки на плоскости x,y, а не третья координатная ось декартовой системы.

Учитывая, что составляющие вектора напряженности определяются через производные от потенциала и функции потока, модуль вектора напряженности можно определить через производную от комплексного потенциала:

Математический аппарат теории функции комплексного переменного развит достаточно глубоко, и его удобно использовать для расчета плоскопараллельных полей. Рассмотрим некоторые способы применения комплексного потенциала для анализа полей.

Метод заданного комплексного потенциала.

Этот метод расчета плоскопараллельных полей заключается в предварительном задании некоторой комплексной функции на плоскости – комплексного потенциала W(z) и последующего определения, какой геометрической области предложенная функция W(z) соответствует. Координаты точки на плоскости могут быть заданы в декартовой или полярной системе: z = x+jy = r·e ^jq. Рассмотрим некоторые простые примеры.

I. Пусть комплексный потенциал задан в виде: W(z) = az + b = (ax + b) + jay =

= V + jU, тогда:

V = ax + b = cons t уравнение линии напряженности, т.е. x = cons t вертикальные линии, а

U = ay = const уравнение линии равного потенциала т.е. y = const горизонтальные линии.

При а > 0 с ростом x и y растут соответственно V и U. Принимая постоянным приращения потенциала и функции потока (D V = constи D U = const), получаем постоянство приращения координат при переходе от линии к линии (D x = const и D y = const) (рис.3–4).

V ₁ V ₂ V ₃ V ₄ V ₅

y U ₁

U ₂

U ₃

U ₄

U ₅

x

Рисунок 3–4

Совместив поверхности двух проводников с двумя линиями равного потенциала (U ₁ и U ₄), получаем картину поля между двумя плоскими проводящими пластинами (внутри плоского конденсатора). Таким образом, мы установили, какой геометрической области соответствует принятый комплексный потенциал.

II. Пусть комплексный потенциал задан в виде:

W(z) = jA ln z = jA ln (r·e^jq) = jA (ln r + j q) = – A q + jA ln r = V + jU, тогда:

V = – A q = const уравнение линии напряженности, т.е. q = const. Эти линии представляют собой лучи, исходящие из начала координат;

U = A ln r = constуравнение линии равного потенциала, т.е. r = const Эти линии представляют собой концентрические окружности с центром в начале координат.

Принимая постоянным приращения потенциала и функции потока (D V = constи D U = const), получаем постоянство приращения координаты Dq = constпри переходе от одной к другой линии напряженности и постоянство отношений радиусов соседних линий равного потенциала .

Совместив поверхность проводника с одной из линий равного потенциала, получим картину поля уединенного заряженного кругового цилиндра (рис. 3–5)

V ₃

V ₄V₂

U ₃ U ₂

V ₁

U ₁

Рисунок 3–5

При q =2p получаем поверхность, охватывающую весь проводник с полным зарядом, тогда

; ; ; .

Окончательно выражения для функции потока и потенциала имеют вид:

; .

При положительном заряде на цилиндре (t >0) потенциал убывает с ростом радиуса (U ₁> U ₂> U ₃), вектор напряженности направлен в сторону убывания потенциала, а функция потока возрастает с ростом угла q, т. е. против часовой стрелки (V ₁< V ₂ < V ₃ …). Аналогичная картина поля создается тонкой заряженной нитью, расположенной в начале координат

Если заряженную нить (рис. 3–6) поместить не в начало координат (z = 0), а в точке с координатой (z = z₀), то выражение для комплексного потенциала имеет вид:

W = j A ln (z – z₀)

j y

 

 

z

z – z₀

x

0

z₀

 

Рисунок 3–6

 

III. Поле двух тонких заряженных нитей. Для двух заряженных нитей с зарядами t₁ и t₂, расположенных в точках с координатами z₁₀ и z₂₀ запишем выражение для комплексного потенциала, воспользовавшись принципом наложения:

W (z) = jA ₁ ln (z–z ₁₀) + jA ₂ ln (z–z ₂₀) + C ₁ + j C ₂.

Здесь C ₁и C ₂ – произвольные постоянные, зависящие от выбора места расположения начальных (нулевых) линий функции потока и потенциала.

Учитывая, что ; и принимая, что на нитях расположены равные по величине и противоположные по знаку заряды (t₁ = – t₂ = t), получим:

 

Обозначим расстояние между заряженными осями через (2 b). Поместим начало координат посредине между заряженными нитями (рис. 3–7), и направим ось x через центры нитей. В этом случае: z₁₀ = – b; z₂₀ = + b.

 

y

 

r ₁ r ₂

 

 

z ₁ = (z + b) z z ₂ = (z – b)

 

 

q₁ q₂

x

– b 0 + b

 

Рисунок 3–7

Комплексный потенциал в произвольной точке имеет вид:

Записав числитель и знаменатель подлогарифмического выражения в полярной системе координат z ₁ = z + b = r ₁ ; z ₂ = z – b = r ₂ , получим:

;

= V + j U;

; .

 

 

Для построения линий равного потенциала (U = const) можем записать:

, что означает: