Числа в пространстве
Павел Полуян
От автора:
На прошедшей недавно международной математической конференции "Многомерный комплексный анализ" (International Conference "Multidimensional Complex Analysis", Krasnoyarsk, Russia, August 5-10, 2002) я представил внепрограммный доклад "Существуют ли гипердействительные числа в квантово-релятивистской вселенной?" Доклад был посвящен обширной теме "Нестандартный анализ неклассического движения", на первый план выдвигались математические и методологические аспекты проблемы, связанные с обоснованием нестандартной модели анализа А.Робинсона и расширением поля действительных чисел.
Предлагаемая здесь работа адресована в первую очередь физикам, - математические аспекты вынесены за скобки, а физическое содержание конкретизировано. Автор рекомендует заинтересовавшимся читателям обратиться к электронным версиям "Нестандартный анализ неклассического движения. Существуют ли гипердействительные числа в квантово-релятивистской вселенной?", "Время и хронометрика. Ареальные множества", которые представлены на русском и английском языках в Интернете (на сервере Красноярского государственного университета https://res.krasu.ru/non-standard, а также на https://sciteclibrary.ru/catalog/pages.3556.html, https://sciteclibrary.ru/eng/catalog/pages/3773.html)
Пользуясь случаем, автор благодарит математиков и физиков, высказавших в беседах и по e-mail свои критические и конструктивные комментарии к поставленной проблеме.
I. Превращение 4-мерного пространства-времени в квартернионное время-пространство.
Один из научных текстов Вольфганга Паули начинается примечательной фразой: "Введем, как обычно, вещественные координаты Xk для пространства и мнимую координату X4 = iCt для времени, и рассмотрим преобразования Лоренца..." (В.Паули. Труды по квантовой теории. М.: "Наука", 1977, в статье "К математической теории матриц Дирака", п.5 "Преобразование Лоренца волновых функций Дирака", с. 233.). Словесный оборот "как обычно" можно расценить в качестве остроумной интеллектуальной провокации, подразумевающей, что указанную процедуру можно сделать и "необычным" путем. Как? Не трудно сказать: мы попробуем для времени оставить вещественную координату, а 3 пространственные координаты представим как мнимые. Тогда 4-мерный псевдоевклидовый континуум Минковского превратится в некое необычное многообразие, которое мы далее будем называть "квартернионное время-пространство".
Появление здесь термина "квартернион" понятно: четверку чисел, выражающих координаты, - одно вещественное и три мнимых - легко представить в качестве квартерниона. Однако квартернионы - это алгебраические числа, а 4-х мерное пространство-время - это континуум. Если так, то существуют ли достаточные основания для того, чтобы ставить их в соответствие? К этому вопросу мы вернемся несколько позже, а пока будем расценивать квартернионное время-пространство как некую чисто логическую конструкцию, - таковую можно рассмотреть в общем и проанализировать в частностях. Попутно отметим, что в современной науке термин "пространство" уже не связывается однозначно только с мерой расстояния, и ничто не мешает нам составить 4-мерное псевдоевклидово пространство индекса 3, где на осях откладывается мера в размерности [t]. Но поскольку время - это физический параметр, отражающий важнейший аспект реальности, то нас в данной статье будет интересовать в первую очередь не формально-математические свойства полученной конструкции, а ее физическая интерпретация.
То, что алгебра квартернионов некоммутативна - сразу же наводит на мысль: полученный таким образом абстрактный объект имеет прямое отношение к квантово-механическим особенностям физического мира. Однако мы не станем забегать вперед, будем рассматривать квартернионное время-пространство таким образом, как если бы мы ничего еще не знали о существовании квантовой механики. Иными словами, постараемся пока сохранить в неприкосновенности классические представления о течении времени и протяженности пространства.
Итак, мы имеем перед собой 4-мерное многообразие, где вещественная ось - чистое время, а три другие - это пространственные координаты, превращенные в мнимые временные оси. При построении 4-мерного псевдоевклидового континуума Минковского все четыре координаты были выражены в одной мере [x], что достигалось с помощью умножения временной координаты на коэффициент C - скорость света [м/с]. Поэтому в нашем квартернионном время-пространстве одноразмерность получается аналогичным путем: мнимые пространственные координаты должны быть умножены на некий коэффициент S с размерностью [с/м]. Можно было бы сказать, что это "обратная скорость света", но это не так. Обратная скорость света 1/C, как реальная физическая величина не может быть искомым коэффициентом, поскольку шкала обратных скоростей неравномерна. В классическом представлении скорость - это отношение, где в числителе отрезок расстояния, а в знаменателе период времени - времени как независимой переменной. Тогда для "обратной скорости", где числитель и знаменатель меняются местами, вместе с обращением размерности возникает и неравномерная шкала величин: 1[м/с]=1[с/м], 2[м/с]=1/2[с/м], 3[м/с]=1/3[с/м], 4[м/с]=1/4[м/с] и т.п. Создается впечатление, что по этой причине квартернионное время-пространство не может быть аналогом 4-мерного континуума. Однако выход из тупика легко обнаружить, если не считать коэффициент S "обратной скоростью" – это просто некий коэффициент с размерностью [с/м].
Здесь мы от математики должны обратиться к физике. Если коэффициент C в псевдоевклидовом континууме Минковского - это вполне конкретная физическая величина, скорость света, имеющая в разных системах отсчета конкретное численное значение, то в нашем квартернионном время-пространстве коэффициент S также должен быть ничем иным как некой физической величиной - константой, отличной по сути своей от скорости света, но имеющей размерность [с/м] - обратную размерности скорости. На роль такой константы можно выдвинуть комбинацию констант h/e2, где h - постоянная Планка, а e - заряд электрона. Хорошо известно, что эта комбинация констант наряду с C входит в выражение безразмерной постоянной тонкой структуры 1/a = ħC/e2 = 137,0306... (здесь ħ – постоянная Планка, деленная на два "p" – h/2p). Я полагаю, что так оно и есть: квартернионное время-пространство - это математическое выражение реального аспекта микрофизической реальности, где константа S=h/e2 с размерностью [с/м] столь же важна, как важна скорость света для глобального 4-мерного континуума Минковского.
Приняв эту трактовку, мы тем самым перекидываем логический мостик между квантовой и релятивистской физикой, обнаруживая - пока только формально-математически - глубокую связь между глобальной пространственно-временной картиной мира и микрофизической квантовой реальностью. Таким образом, логический смысл безразмерной постоянной тонкой структуры выражается в том, что она показывает соответствие между континуумом Минковского и квартернионным время-пространством. Я полагаю, что Вольфганг Паули, который настаивал на теоретическом обосновании физического статуса этого загадочного числа 137,0306..., имел в виду нечто подобное.
Однако формальных аргументов здесь не достаточно. Мы должны вскрыть и физическую суть обнаруженного соответствия, то есть увидеть связь между граничной скоростью прямолинейного поступательного движения C и константой S, смысл которой пока не понятен. S=h/e2 - это комбинация эмпирических констант с размерностью [с/м], мы включили ее в некую математическую структуру, но от этого ее смысл не стал яснее.
В классической физике скорость является количественной мерой поступательного движения, связывает между собой пространственные и временные параметры движения как прямолинейного поступательного перемещения. Если константа S включается нами в квартернионное время-пространство, она также должна пониматься как выражение какого-то аспекта движения, где пространственные и временные характеристики как-то связаны между собой. Более того, важнейшим свойством континуума Минковского являются преобразования Лоренца, приводящие к тому, что закон сложения скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой дает предельное значение для прямолинейного поступательного перемещения. Логично предположить, что в квартернионном время-пространстве также обнаружится аналог преобразований Лоренца, который позволит трактовать константу S в качестве инварианта и предела в сложении каких-то величин. Так, по крайней мере, должно выглядеть дело в двумерном случае, где на комплексной плоскости псевдоевклидовым образом связываются одна временная и одна пространственная оси. Для континуума Минковского мнимой будет временная ось - iCt, а для квартернионного время-пространства - пространственная iSx. В двумерном случае дело облегчается тем, что мы оставляем за рамками рассмотрения некоммутативность (с другой стороны, обнаруживается, что некоммутативность связана напрямую с наличием еще двух мнимых пространственных координат).
Поскольку скорость света C - это неклассическое ограничение на максимальную скорость (скорость распространения сигнала на расстояние не может быть бесконечной), соответственно, константа S также не позволяет отношению ∆t/∆x принимать бесконечные значения. Однако S - это предел для "обратной скорости", а увеличение ∆t/∆x одновременно означает уменьшение отношения ∆x/∆t, что позволяет предположить: "нулевая скорость" столь же недостижима, как и бесконечная.
Тем не менее, и в случае упрощенного двумерного, комплексного представления квартернионного время-пространства, все-таки, остается пока непонятным: что за величины должны здесь складываться, и каков в данном случае физический смысл "системы отсчета"? На эти вопросы нам сейчас и предстоит ответить.
Поскольку S - это некий коэффициент пропорциональности между мерой времени t[с] и мерой расстояния x[м], то константа S как самостоятельный параметр выражает некий аспект движения, но, поскольку для поступательного прямолинейного перемещения количественной мерой является классическое понятие скорости V[м/с] и ее неклассический предел C, эта новая константа S должна быть неклассическим пределом какой-то вполне классической меры движения, которая тем не менее не является поступательным перемещением. Мы предположим, что искомой формой движения является вращение. *
* Существуют и микрофизические предпосылки, для того, чтобы связать указанную величину именно с вращением. Так, например, в физике элементарных частиц экспериментально определено существование так называемых изотопических преобразований, которые полностью аналогичны обычным вращениям. Вернер Гейзенберг, перечисляя основные группы симметрии, рядом с группой Лоренца помещает особую группу - это "группа, исследованная Паули и Гюши, которая соответствует по своей структуре группе трехмерных пространственных вращений - она ей изоморфна, - и проявляет себя в появлении квантового числа, которое эмпирически было открыто у элементарных частиц и получило название "изоспин". ("Квантовая теория и строение материи", в кн. В.Гейзенберг, "Физика и философия. Часть и целое.", М.: "Наука", 1990, с. 103.) При этом, соотношения, следующие из изотопической инвариантности соблюдаются с точностью до поправок, величина которых определяется константой e2/ħC. В учебной литературе отмечается, что "изотопическая инвариантность означает особую симметрию сильных взаимодействий, не связанную с общими свойствами пространства и времени. Хотя изотопическая инвариантность достаточно хорошо установлена экспериментально, связанные с нею свойства симметрии логически не вытекают из существующей теории и природа этих свойств симметрии пока не выяснена". ("Изотопический спин", в кн. "Физический энциклопедический словарь", М., 1962, т. 2, с. 143.)