Задача 1
Найдите все положительные значения 
, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение. Если 
, то уравнение 
задаёт окружность 
с центром в точке 
радиусом 
, а если 
, то оно задаёт окружность 
с центром в точке 
таким же радиусом
(см. рисунок).
При положительных значениях уравнение 
задаёт окружность 
с центром в точке 
радиусом . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения , при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .
Из точки 
проведём луч 
и обозначим через 
и 
точки его пересечения с окружностью , где лежит между и 
. Так как
, то 
.
При 
или 
окружности и не пересекаются.
При 
окружности и имеют две общие точки.
При 
или 
окружности и касаются.
Из точки проведём луч 
и обозначим через 
и 
точки его пересечения с окружностью , где лежит между и 
. Так как 
, то 
.
При 
или 
окружности и не пересекаются.
При 
окружности и имеют две общие точки.
При 
или 
окружности и касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как 
, то условию задачи удовлетворяют только числа 
и 
.
Ответ: 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обосновано | |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра | |
| Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальныйбалл |
Задача 2.
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению 
при условии 
.
Решим уравнение :
; 
; 
, откуда 
, 
или 
.
Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны
и для каждого из них выполнено условие 
.
Рассмотрим условия совпадения корней. При 
имеем 
.
При 
имеем 
. При остальных значениях числа 0,
, 
различны.
При получаем: 
при всех значениях .
При получаем: 
.
Это выражение неотрицательно при 
.
При получаем: 
.
Это выражение неотрицательно при 
.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при
; 
; 
.
Ответ: ; 
; .
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек  и/или 
| |
С помощью верного рассуждения получен промежуток  множества значений a, возможно, с включением граничных точек
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения
| |
Получены корни уравнения : , , ; и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии  ()
| |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
Задача 3.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение.
|
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1) Если 
, то получаем уравнение
;
;
.
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом 
.
2) Если 
, то получаем уравнение
; 
; 
.
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом .
Полученные окружности пересекаются в двух точках 
и 
, лежащих на прямой 
, поэтому в первом случае получаем дугу 
с концами в точках 
и 
, во втором — дугу 
с концами в тех же точках (см. рис.).
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую 
, которая проходит через точку и угловой коэффициент которой равен 
.
При 
прямая проходит через точки и , то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая перпендикулярна прямой 
, угловой коэффициент которой равен 
, значит, прямая касается дуги 
в точке и пересекает дугу 
в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая перпендикулярна прямой 
, угловой коэффициент которой равен 
, значит, прямая касается дуги в точке
и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая пересекает каждую из дуг и в точке
и ещё в одной точке, отличной от точки , то есть исходная система имеет три решения.
При 
прямая пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.
Значит, исходная система имеет ровно два решения при 
.
Ответ: .
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек и/или 
| |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
Пример 1.
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Ответ: ; ; .
Комментарий.
Решение логично, все шаги присутствуют, но при решении неравенства в пункте 2) допущена ошибка вычислительного характера, что соответствует критерию на 2 балла.
Оценка эксперта: 2 балла.
Пример 2.
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Ответ: ; ; .
Комментарий.
Получены корни уравнения , , и задача сведена к исследованию полученных корней при условии (есть только указание).