Раздел 1. Прикладные проблемы функционального анализа.

1.1. Топологические пространства. Сходимость и понятие предела в топологических пространствах. Непрерывные отображения. Аналоги топологических понятий в конечномерных пространствах: открытое множество, окрестность, сходимость, непрерывность. Необходимое и достаточное условие непрерывности (формулировка теоремы).

1.2. Линейные пространства. Линейные операторы. Ядро оператора. Необходимые и достаточные условия взаимнооднозначности линейного оператора. Линейные топологические пространства. Локальная выпуклость.

1.3. Нормированные и банаховы пространства. Примеры. Пространства и Пространства со скалярным произведением. Гильбертовы пространства.

1.4. Взаимосвязи основных структур в различных видах функциональных пространств (структурная схема).

1.5. Линейные непрерывные функционалы в линейных топологических пространствах. Сопряженные пространства. Сильная топология в сопряженных пространствах. Сопряженные операторы. Оператор, сопряженный к линейному оператору в евклидовых пространствах R^m, Rⁿ (утверждение и доказательство).

1.6. Пространство, сопряженное к конечномерному линейному пространству. Общий вид линейного непрерывного функционала в конечномерном линейном пространстве. Пространство, сопряженное к гильбертову пространству. Теорема Ф.Рисса о структуре линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве (без доказательства).

1.7. Сильное дифференцирование в банаховых пространствах. Определение сильной производной. Производная Фреше в конечномерных пространствах. Дифференциал Фреше. Условие регулярности отображения. Понятие гладкости (непрерывный дифференцируемости).

1.8. Теорема о дифференцируемости сложной функции для сильной производной (формулировка и примеры решения).

1.9. Слабое дифференцирование в линейных топологических пространствах. Первая вариация по Лагранжу. Производная Гато. Соотношение между дифференцируемостью по Гато, непрерывностью отображения и дифференцируемостью по Фреше.

1.10. Связь между сильной и слабой дифференцируемостью. Достаточные условия
дифференцируемости по Фреше (без доказательства).

1.11. Старшие сильные производные. Два подхода к определению производных высших
порядков. Определения второй производной на основе первого и второго подходов. Вторая производная как производная отображения, определяемого первой производной. Вторая производная, задаваемая при помощи разложения приращения отображения. Значение вторых производных в конечномерных пространствах. Формула Тейлора.

1.12. Дифференцируемость конкретных функционалов и отображений:

1) производные Фреше билинейной и квадратичной формы, скалярного произведения и нормы в гильбертовом пространстве;

2) производная Фреше отображения

, , где , , X и Y – банаховы;