Расчет железобетонной балки таврового сечения.
| Расчет железобетонной балки таврового сечения от расчета балки прямоугольного сечения отличается тем, что следует учитывать высоту сжатой зоны поперечного сечения. Так как геометрические размеры тавровых сечений бывают разными, то сжатая зона бетона может быть или только в полке тавра или и в полке и частично в ребре. Кроме того следует учитывать наличие или отсутствие арматуры в сжатой зоне сечения. Далее будут рассматриваться примеры расчетов для тавровых сечений, у которых отсутствует арматура в сжатой зоне для упрощения изложения и с учетом того, что такие случаи в практике малоэтажного строительства встречаются намного чаще
| |
| |
| |
| Теоретические основы расчета
Согласно СНиП 2.03.01-84 и СП 52-101-2003 расчет тавровых поперечных сечений без арматуры в сжатой зоне рекомендуется выполнять с использованием следующих положений:
1. а) Если нейтральная плоскость (граница между сжимаемой и растягиваемой зонами сечения) проходит в полке (рисунок 326.1.а), т.е. соблюдаются условия:
RsAs < Rbb'fh'f (326.1.1)
M ≤ Rbb'fh'f(ho - 0.5h'f) (326.1.2)
и
ξ = у/ho < ξR (220.6.1)
то расчет производится, как для балки прямоугольного сечения с шириной b'f. Подробности расчета по такому алгоритму подробно расписаны в статье "Расчет железобетонной плиты перекрытия". Здесь же приведу только основные формулы:
ξR - предельно допустимое значение относительной высоты сжатой зоны бетона, определяемое по следующей формуле:
 (220.6.2)
где Rs - расчетное сопротивление арматуры в МПа. Также предельное значение относительной высоты сжатой зоны бетона можно определить по таблице:
Таблица 220.1. Граничные значения относительной высоты сжатой зоны бетона
Примечание: При выполнении расчетов не профессиональными проектировщиками, ограничивающимися только расчетами по первой группе предельных состояний, я рекомендую занижать предельное значение относительной высоты сжатой зоны ξR (и значение аR) в 1.3-1.5 раза. В связи с этим возможный вариант расчета, когда y > ξRho, далее не рассматривается.
При определении сечения арматуры сначала определяется коэффициент am:
 (220.6.6)
при аm < aR арматура в сжатой зоне не требуется, значение аR определяется по таблице 220.1.
При отсутствии арматуры в сжатой зоне сечение арматуры определяется по следующей формуле:
 (220.6.7)
В формулах (220.6.6) и (220.6.7) значения b заменяются на b'f.
Рисунок 326.1
1. б) Если нейтральная плоскость проходит в ребре балки (рисунок 326.1.б), то расчет выполняется, исходя из следующего условия:
M < Rbbу (h0 - 0,5у) + Rbh'f(b'f - b)(h0 - 0.5h'f) (326.2)
где (b'f - b)h'f = Aov - площадь сечения свесов полки.
При этом высота сжатой зоны у определяется, исходя из следующих формул:
RsAs = Rbby + Rbh'f(b'f - b) (326.3.1)
y = (RsAs - RbAov)/Rbb (326.3.2)
при этом высота сжатой зоны принимается у ≤ ξRho.
При определении сечения арматуры сначала определяется коэффициент am:
 (326.4.1)
при аm < aR арматура в сжатой зоне не требуется, значение аR определяется по таблице 220.1 (см. выше).
При отсутствии арматуры в сжатой зоне сечение арматуры определяется по следующей формуле:
 (326.4.2)
2.Так как ширина полки таврового сечения может быть достаточно большой, например для балок, входящих в состав балочного монолитного перекрытия, то ширина полки балки b'f принимается с учетом следующих условий:
2.1. Ширина свеса полки в каждую сторону от ребра балки bсв = (b'f - b)/2 (на рисунке 326 не показана) должна быть не более 1/6 длины пролета рассчитываемого элемента, а также не более:
2.2. При наличии поперечных ребер (второстепенных балок при расчете главных балок или главных балок при расчете второстепенных балок, при этом ребро рассматриваемой балки считается продольным) или при h'f ≥ 0.1h расчетная ширина полки b'f принимается равной 1/2 расстояния между продольными ребрами в свету.
2.3. При отсутствии поперечных ребер или при расстоянии между поперечными ребрами большем, чем расстояния между продольными ребрами и при h'f < 0.1h расчетная ширина полки b'f = 6h'f.
2.4. При консольных свесах полки (при расчете отдельных балок таврового сечения, не входящих в состав разного рода перекрытий):
а) при h'f ≥ 0.1h расчетная ширина полки b'f = 6h'f;
б) при 0.05h ≤ h'f < 0.1h расчетная ширина полки b'f = 3h'f;
в) при h'f < 0.05h свесы полок в расчетах не учитываются.
2.5. При изменяющейся высоте свесов полки в расчетах допускается использовать среднее значение высоты h'f.
Все это, так сказать, теоретические, а потому не совсем понятные положения, давайте посмотрим, как их можно применить на практике.
Пример расчета на прочность балки таврового сечения
Планируется монолитное перекрытие в жилом помещении размерами 5х8 метров с 4 главными балками. Предварительно принятая высота основной плиты 8 см, предварительные размеры балок 10х15 см:
Рисунок 326.2
Примечание: На общей расчетной схеме (рис.326.2.а) размеры даны в миллиметрах, а размеры поперечного сечения балки (рис.326.2.б) даны в сантиметрах для упрощения дальнейших расчетов. Конструктивная арматура основной плиты для упрощения расчетов не учитывается.
1. Если и основная плита и балки будут бетонироваться одновременно, то высота основной плиты будет высотой полки h'f, а общая высота тавровой балки h = 8 + 15 = 23 см, а = 2.5 см, ho = 20.5 см. Для перекрытия будет использоваться бетон класса В20, с расчетным сопротивлением сжатию Rb = 11.5 МПа (117 кгс/см2) и арматура класса AIII (А400), имеющая расчетное сопротивление растяжению Rs = 355 МПа (3600 кгс/см2). В случае если бетонная смесь будет приготавливаться в домашних условиях (т.е. без должного контроля прочности образцов) и бетонирование будет выполняться не специалистами расчетное сопротивление бетона следует понизить. СНиПом СНиП 2.03.01-84 понижающий коэффициент, учитывающий качество выполнения работ, для подобных случаев не предусмотрен, да и тяжело предугадать, насколько сильно вышеуказанные причины могут повлиять на расчетное сопротивление бетона. Ориентировочно значение этого коэффициента может составлять от 0.5, если нет уверенности в своих силах, до 0.9, если уверенность в своих силах высокая. Дальнейший расчет будет производиться с использованием коэффициента качества работ γк = 0.9. Тогда расчетное значение сопротивления бетона сжатию составит:
Rb = 117·0.9 = 105.3 кг/см2
2. Пролет балок составляет 5 м, при этом bсв ≤ 500/6 = 83 см, первое условие соблюдается. Рассматриваемая балка входит в состав монолитного перекрытия, при этом высота плиты 8 см > 0.1h = 2.3 см, согласно п.2.2 расчетная ширина полки составит:
b'f = 152/2 = 76 см
3. Для определения высоты сжатой зоны сечения сначала необходимо определить максимальный изгибающий момент, действующий в рассматриваемом поперечном сечении тавровой балки. А для этого нужно знать нагрузки, действующие на перекрытие.
При расчете перекрытий жилых зданий в качестве расчетной временной нагрузки можно использовать следующее значение qвр = 400 кг/м2. Для балок с шагом 162 см расчетная временная нагрузка на погонный метр составит
qвр = 400·1.62 = 648 кг/м
Примечание: Более точное значение расчетной нагрузки следует определять по СНиП 2.01.07-85 "Нагрузки и воздействия", где приводятся значения нормативных нагрузок. Согласно указанного СНиП для плит перекрытий в квартирах жилых зданий нормативное значение распределенной нагрузки составляет 150 кг/м2. Затем это значение нужно умножить на коэффициент надежности по нагрузке, при таком значении нормативной нагрузки составляющий γн = 1.3 (1.4 по старым нормам). Таким образом расчетное значение временной нагрузки без учета стяжки, напольного покрытия и возможных других временных нагрузок составит
qсв = 150·1.3 = 195 кг/м2
Как показывает практика, если к определенной таким образом временной распределенной нагрузке прибавить временные нагрузки от выравнивающей стяжки, напольного покрытия и др., умноженные на соответствующие коэффициенты надежности по нагрузке, то суммарная временная нагрузка будет немного меньше указанных 400 кг/м2. Если до начала расчетов известна толщина будущей стяжки, вид напольного покрытия, расположение мебели и инженерного оборудования, то значение суммарной временной нагрузки можно рассчитать более точно. При этом значение расчетной временной нагрузки может снизиться на 30-70 кг/м2. Тем не менее дальнейший расчет будет выполняться по указанной выше временной нагрузке 400 кг/м2.
Примечание: Устройство каких-либо перегородок данным расчетом не предусматривается. Если по перекрытию планируется устройство перегородок, то следует предусмотреть отдельные балки под перегородки и рассчитать их с учетом возможных нагрузок. Исключение могут составлять легкие перегородки из ГКЛ, возле которых не будет устанавливаться мебель.
Постоянная нагрузка от собственного веса монолитного перекрытия на одну балку будет составлять qп = (0.08·1.62 + 0.1·0.15)2500 = 361.5 кг/м. Коэффициент надежности по нагрузке для бетонных и железобетонных конструкций составляет γн= 1.1. Тогда расчетное значение постоянной нагрузки составит qпр = 361.5·1.1 = 397.65 кг/м. Таким образом суммарная распределенная нагрузка на балку составит:
qр = qп + qв = 397.65 +648 = 1045.65 кг/м
Тогда максимальный изгибающий момент для бесконсольной балки на двух шарнирных опорах:
Мmax = ql2/8 = 1045.65·52/8 = 3267.656 кг·м = 326765.6 кг·см
Почему это так, достаточно подробно рассказывается в другой статье.
4. Проверяем выполнение условия (326.1.2):
M = 326765.6 < Rbb'fh'f(ho - 0.5h'f) = 105.3·76·8(20.5 - 4) = 1056369.6
5. Условие выполняется, расчет сечения арматуры в сжатой зоне можно производить по формулам (220.6.6) и (220.6.7), тогда:
аm = 326765.6/(105.3·76·20.52) = 0.09716
6. am = 0.09716 < aR = 0.39/1.5 = 0.26, значит арматура в сжатой зоне не требуется, тогда требуемая площадь сечения арматуры в сжатой зоне составит:
Аs = 105.3·76·20.5(1 - √1 - 2·0.09716)/3600 = 4.67 см2
Диаметр арматуры можно подобрать по следующей таблице:
Таблица 2. Площади поперечных сечений и масса арматурных стержней.
7. Для армирования балки можно использовать 2 стержня диаметром 18 мм, площадь сечения стержней составит 5.09 см2.
8. Проверяем соблюдение необходимой толщины защитного слоя бетона при выбранной арматуре. Толщина защитного слоя согласно п.5.5 СНиП 2.03.01-84 должна быть не менее диаметра арматуры и ≥ 15 мм. В нашем случае толщина защитного слоя бетона составит:
hз = а - d/2 = 25 - 18/2 = 16 мм
Условие не выполнено, поэтому для расчетов следует принять большее значение а. Например, при а = 27 мм ho = 20.3 см.
аm = 326765.6/(105.3·76·20.32) = 0.0991
Аs = 105.3·76·20.3(1 - √1 - 2·0.0991)/3600 = 4.71 см2
9. Расстояние в свету между стержнями арматуры составит 100 - 2а - d = 100 - 54 - 18 = 28 мм. Это означает, что для для бетонирования балки следует использовать бетонную смесь с максимальным размером зерен щебня 28 мм. Если предполагается использование крупного заполнителя больших размеров, то следует или увеличить ширину балки, или увеличить высоту балки, что позволит уменьшить диаметр используемой арматуры.
Примечание: если балки и плита будут бетонироваться отдельно, то тогда балки следует рассчитывать как элементы прямоугольного сечения с высотой, равной высоте балок.
Пример расчета балки таврового сечения с учетом прогиба
Выполненный выше расчет на прочность (расчет по первой группе предельных состояний) как правило для шарнирно опертых однопролетных балок недостаточен и требует дополнительного расчета по деформациям. Методик определения прогиба ж/б конструкций существует несколько. На мой взгляд проще всего определить приблизительное значение прогиба при расчете по допускаемым нагрузкам.
Расчет по допускаемым нагрузкам, предполагающий упругую работу материала и не предусматривающий пластические деформации в сжатой зоне бетона, дает следующие результаты:
При определенных выше параметрах высота сжатой зоны бетона составит:
y = √3M/2b'fRb = √3·326765.6/2·76·105.3 = 7.826 см
При этом требуемая высота сжатой зоны при расчете по деформациям определяется решением следующего кубического уравнения:
у3 = 3As(ho - y)2Es/b'fEb (321.2.4)
и при Еb = 270000 кгс/см2, Es = 2000000 кгс/см2, составит примерно уf = 6.53 см (ур = 5.234 см).
Тогда при Ip = b'f(2yp)3/12 = 76(2·5.234)3/12 = 7264.8 см4 примерный прогиб балки составит:
f = 0.83·5·10.456·5004/(384·270000·7264.8) = 3.6 см > fu = 500/250 = 2 см (согласно СНиП 2.01.07-85)
Это достаточно большой прогиб и для его уменьшения можно увеличить количество балок, но можно и увеличить высоту и ширину сечения принятого количества балок, тем более, если это необходимо сделать для использования бетонной смеси с крупным щебнем. Например, при увеличении высоты балки всего на 2 см - до 17 см и ширины балки до 11 см и при той же арматуре ho = 22.3 см:
уf = 7 см (yp = 6.174 см), Ip = 76(2·6.174)3/12 = 11924 см4, приблизительный прогиб
f = 0.83·5·10.456·5004/(384·270000·11924) = 2.194 см ≈ fu = 2 см.
Примечание: приведенная методика определения прогиба не является рекомендованной нормативными документами, к тому же для упрощения расчетов не учитывалось то, что немного увеличится нагрузка от собственного веса балки. Тем не менее такая методика позволяет достаточно быстро определить приблизительное значение прогиба и оценить его влияние на работу конструкции.
Пример расчета на прочность балки таврового сечения с учетом изменения высоты полки
Так как при расчетах плиты принята новая высота плиты h = 6 см, то это вносит ощутимые изменения в значение постоянной нагрузки и в параметры тавровой балки.
В этом случае при общей высоте балки h = 25 см постоянная нагрузка от собственного веса монолитного перекрытия на одну балку будет составлять qп = (0.06·1.62 + 0.11·0.19)2500 = 295.25 кг/м. Тогда расчетное значение постоянной нагрузки составит qпр = 295.25·1.1 = 324.8 кг/м. Таким образом суммарная распределенная нагрузка на балку составит:
qр = qп + qв = 324.8 +648 = 972.8 кг/м
Мmax = ql2/8 = 972.8·52/8 = 3040 кг·м = 304000 кг·см
4. Проверяем выполнение условия (326.1.2):
M = 304000 < Rbb'fh'f(ho - 0.5h'f) = 105.3·76·6(22.3 - 3) = 926724.2
5. Условие выполняется, расчет сечения арматуры в сжатой зоне можно производить по формулам (220.6.6) и (220.6.7), тогда:
аm = 304000/(105.3·76·22.32) = 0.07638
Аs = 105.3·76·22.3(1 - √1 - 2·0.07638)/3600 = 3.943 см2
Как видим требуемая площадь сечения уменьшилась, но так как мы принимали сечение арматуры с учетом прогибов, то диаметр арматуры оставляем без изменения 2 стержня d = 18 мм.
При этом высота сжатой зоны бетона составит:
y = √3M/2b'fRb = √3·304000/2·76·105.3 = 7.55 см
Требуемая высота сжатой зоны при расчете по деформациям составит примерно уf = 7.07 см
Однако такая высота сжатой зоны означает, что нейтральная линия будет проходить не в полке а в ребре балки, и значение у также будет другим.
По более точной формуле значение моментов инерции полусечений составит:
Iв = b'fhf(y/2)2 +b'fhf3/12 + b(y - hf)((y - hf)/2)2 + b(y - hf)3/12 = Iн = As(ho - y)2Es/Eb (321.2.3.2)
тогда, подставив имеющиеся значения, получим:
76·6(у/2)2 + 76·63/12 + 11(у - 6)(y/2 - 3)2 + 11(y - 6)3/12 = 5.09(22.3 - y)22000000/270000;
114y2 + 1368 + 2.75(y - 6)3 + 0.917(y - 6)3 = 43.704(22.3 - y)2;
у ≈ 8.08 см
Так как требуемая высота сжатой зоны при расчете на прочность больше, чем высота сжатой зоны при расчете по деформациям (разница составит примерно 7.55-7.05 = 0.5 см), то при приближенном расчете (без учета области пластических деформаций) расчетное значение высоты полки составит 6 - 0.5 = 5.5 см, тогда
Ip = 76·5.5·3.792 + 76·5.53/12 + 3.667·2.083 = 6004.2 + 1053.71 +33 = 7090.9 см4, тогда примерный прогиб балки составит:
f = 0.83·5·9.73·5004/(384·270000·7090.9) = 3.43 см > fu = 2 см, а значит высоту балок желательно увеличить еще.
Например, при общей высоте h = 30 см
у ≈ 10.02 см
Ip = 76·5.5·4.762 + 76·5.53/12 + 3.667·4.023 = 9470.9 + 1053.71 + 238.2 = 10762.8 см4, тогда примерный прогиб балки составит:
f = 0.83·5·9.73·5004/(384·270000·7090.9) = 1.9 см < fu = 2 см
Если произвести расчет с учетом изменяющего модуля упругости бетона, то при Еb1 = 270000/(1 + 2.8) = 71052.6 кг/см2.
76·6(у/2)2 + 76·63/12 + 11(у - 6)(y/2 - 3)2 + 11(y - 6)3/12 = 5.09(27.3 - y)22000000/71052.6;
114y2 + 1368 + 2.75(y - 6)3 + 0.917(y - 6)3 = 166.0752(27.3 - y)2;
у ≈ 14.45 см и в этом случае высота сжатой области сечения принимается без изменений, тогда
Ip = 2·27410 = 54820 см4, тогда примерный прогиб балки составит:
f = 0.96·5·9.73·5004/(384·71052.6·54820) = 1.95 см < fu = 2 см
|
|
Поиск по сайту:
|