Вопросы, выносимые на экзамен по дисциплине «Математический анализ»
Преподаватель: Глушко Ольга Васильевна
1. Числовые множества. Абсолютная величина числа и ее свойства (одно доказать).
2. Определение числовой последовательности, способы ее задания. Свойства числовых последовательностей (одно доказать).
3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь между ними.
4. Определение числовой функции, способы ее задания. Свойства функций. Привести примеры.
5. Понятие предела функции. Предел функции в точке, на бесконечности. Односторонние пределы. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между ними. Привести примеры.
6. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения, частного функций, степени функции (одну доказать).
7. Методы раскрытия основных неопределенностей при вычислении пределов функции. Первый и второй замечательные пределы. Привести примеры.
8. Правила сравнения бесконечно малых функций. Перечислить основные эквивалентности для бесконечно малых функций. Привести примеры.
9. Понятие о непрерывности функции. Определение точек разрыва функции и их классификация. Свойства непрерывных функций (формулировки). Привести примеры.
10. Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке.
11. Определение функции, дифференцируемой в точке. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции в точке. Дифференциал функции (определение, формула для вычисления).
12. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Вывести одно из правил.
13. Дифференцирование показательной логарифмической функций. Привести примеры.
14. Дифференцирование тригонометрических функций (одну и формул вывести). привести примеры.
15. Дифференцирование обратных тригонометрических функций (одну из формул вывести). Привести примеры.
16. Дифференцирование сложной функции, правило, примеры. Таблица производных сложных функций.
17. Правила нахождения производной функции, заданной неявно или параметрически. Привести примеры.
18. Алгоритм исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы по первой производной. Привести пример.
19. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной. Примеры.
20. Алгоритм исследования функции на экстремум по второй производной. Привести пример.
21. Алгоритм нахождения промежутков выпуклости, вогнутости, точек перегиба графика функции с помощью второй производной. Привести пример.
22. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей, возникающих при вычислении пределов функций.
23. Функция нескольких переменных (определение, основные понятия). Примеры.
24. Частные производные функции нескольких переменных, правила их нахождения. примеры.
25. Частные производные второго порядка функции нескольких переменных. Примеры.
26. Алгоритм нахождения экстремумов функции нескольких переменных. Привести пример.
27. Первообразная функции. Основное свойство первообразной (доказать теорему).
28. Неопределенный интеграл. Определение. Свойства (одно доказать).
29. Таблица основных неопределенных интегралов Непосредственное интегрирование.
30. Интегрирование методом подстановки.
31. Интегрирование по частям.
32. Определение правильной, неправильной рациональной дроби. Виды простейших рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших.
33. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.
34. Интегрирование некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции.
35. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла (одно доказать).
36. Геометрические приложения определенного интеграла..
37. Метод подстановки при вычислении определенного интеграла.
38. Вычислении определенного интеграла методом интегрирования по частям.
39. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Его геометрический смысл.
40. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции. Пример.
41. Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
42. Двойной интеграл. Основные понятия и условия существования.
43. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Общее и частное решение. Формулировка задачи Коши, теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
44. Определение дифференциального уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными. Метод их интегрирования. Пример.
45. Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Решение его методом вариации. Пример.
46. Определение дифференциального уравнения n-го порядка, общее решение. Формулировка задачи Коши теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка.
47. Неполные дифференциальные уравнения второго порядка. Алгоритм их решения.
48. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
49. Линейные неоднородные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.
50. Метод неопределенных коэффициентов.
51. Числовой ряд. Основные понятия.
52. Необходимый признак сходимости числового ряда. Пример.
53. Гармонический ряд.
54. Признаки сравнения для сходимости числового ряда. Пример.
55.Признак Даламбера.
56. Радикальный признак Коши для сходимости ряда. Пример.
57. Интегральный признак для сходимости ряда. Пример.
58. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Основные понятия.
59. Признак Лейбница для сходимости знакочередующегося ряда. Пример.
60. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
61. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
62. Степенные ряды. Основные понятия. Свойства.
63. Интервал и радиус сходимости степенных рядов. Теорема Абеля.
64. Формулы Тейлора и Маклорена.
65. Необходимое и достаточное условие сходимости степенного ряда.
66. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.