Не всегда очевидно, что прямая и плоскость параллельны.Зачастую это нужно доказать. Необходимо использовать достаточное условие, которое даст гарантию на параллельность. Такой признак имеет название признака параллельности прямой и плоскости.Предварительно рекомендуется изучить определение параллельных прямых.
Теорема 1
Если заданная прямая aa, не лежащая в плоскости αα, параллельна прямой bb, которая принадлежит плоскости αα, тогда прямая aa параллельна плоскости αα.
Рассмотрим теорему, используемую для установки параллельности прямой с плоскостью.
Теорема 2
Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая лежит в этой плоскости либо параллельна ей.
Подробное доказательство рассмотрено в учебнике 10−1110-11 класса по геометрии. Необходимым и достаточным условием параллельности прямой с плоскостью возможно при наличии определения направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.
Теорема 3
Для параллельности прямой aa, не принадлежащей плоскости αα, и данной плоскости необходимым и достаточным условием является перпендикулярность направляющего вектора прямой с нормальным вектором заданной плоскости.
Условие применимо, когда необходимо доказать параллельность в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Рассмотрим подробное доказательство.
Доказательство
Допустим, прямая а в систему координат Оху Оху задается каноническими уравнениями прямой в пространстве, которые имеют вид x−x1ax=y−y1ay=z−z1azx-x1ax=y-y1ay=z-z1az или параметрическими уравнениями прямой в пространстве ⎧⎪⎨⎪⎩x=x1+ax⋅λy=y1+ay⋅λz=z1+az⋅λx=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, плоскостью αα с общими уравнениями плоскости Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0.
Отсюда →a=(ax, ay, az)a→=(ax, ay, az) является направляющим вектором с координатами прямой а, →n=(A, B, C)n→=(A, B, C) - нормальным вектором заданной плоскости альфа.
Чтобы доказать перпендикулярность →n=(A, B, C)n→=(A, B, C) и →a=(ax, ay, az)a→=(ax, ay, az), нужно использовать понятие скалярного произведения. То есть при произведении (→a, →n)=ax⋅A+ay⋅B+az⋅Ca→, n→=ax·A+ay·B+az·C результат должен быть равен нулю из условия перпендикулярности векторов.
Значит, что необходимым и достаточным условием параллельности прямой и плоскости запишется так (→a, →n)=ax⋅A+ay⋅B+az⋅Ca→, n→=ax·A+ay·B+az·C. Отсюда →a=(ax, ay, az)a→=(ax, ay, az) является направляющим вектором прямой aa с координатами, а →n=(A, B, C)n→=(A, B, C) - нормальным вектором плоскости αα.
Условия параллельности двух прямых:
а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:
б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.
5. Условия перпендикулярности двух прямых:
а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.
Определение.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Определение.
Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Обратите внимание, что оговорка «если они лежат в одной плоскости» в определении параллельных прямых в пространстве очень важна. Поясним этот момент: две прямые в трехмерном пространстве, которые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости не являются параллельными, а являются скрещивающимися.
Приведем несколько примеров параллельных прямых. Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.
Для обозначения параллельных прямых используют символ «
». То есть, если прямые а и b параллельны, то можно кратко записать а b.
Обратите внимание: если прямые a и b параллельны, то можно сказать, что прямая a параллельна прямой b, а также, что прямая b параллельна прямой a.
Озвучим утверждение, которое играет важную роль при изучении параллельных прямых на плоскости: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Это утверждение принимается как факт (оно не может быть доказано на основе известных аксиом планиметрии), и оно называется аксиомой параллельных прямых.
Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых (ее доказательство Вы можете найти в учебнике геометрии 10-11 класс, который указан в конце статьи в списке литературы).
Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых.
Параллельность прямых - признаки и условия параллельности.
Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых.
Также существуют необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в трехмерном пространстве.
Поясним смысл фразы «необходимое и достаточное условие параллельности прямых».
С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. А что же такое «необходимое условие параллельности прямых»? По названию «необходимое» понятно, что выполнение этого условия необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны. Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых. То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны – это свойство, которым обладают параллельные прямые.
Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.
Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.
При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых углов. В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Покажем их на чертеже.
Теорема.
Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.
Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости.
Доказательства этих условий параллельности прямых Вы можете найти в учебниках геометрии за 7 - 9 классы.
Заметим, что эти условия можно использовать и в трехмерном пространстве – главное, чтобы две прямые и секущая лежали в одной плоскости.
Приведем еще несколько теорем, которые часто используются при доказательстве параллельности прямых.
Теорема.
Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака следует из аксиомы параллельных прямых.
Существует аналогичное условие параллельности прямых в трехмерном пространстве.
Теорема.
Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака рассматривается на уроках геометрии в 10 классе.
Проиллюстрируем озвученные теоремы.
Приведем еще одну теорему, позволяющую доказывать параллельность прямых на плоскости.
Теорема.
Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.
Существует аналогичная теорема для прямых в пространстве.
Теорема.
Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.
Изобразим рисунки, соответствующие этим теоремам.
Все сформулированные выше теоремы, признаки и необходимые и достаточные условия прекрасно подходят для доказательства параллельности прямых методами геометрии. То есть, чтобы доказать параллельность двух заданных прямых нужно показать, что они параллельны третьей прямой, или показать равенство накрест лежащих углов и т.п. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе. Однако следует отметить, что во многих случаях удобно пользоваться методом координат для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве. Сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых, которые заданы в прямоугольной системе координат.