Пример расчет балки-стенки методом коллокаций

Таблица 1

№	А	Б	В	Г	А	Б	В	Г
_, м	, м	k ₀₃, МН/м³	k ₀₂, МН/м²	k ₁₂, МН/м³	k ₃₀, МН/м³	k ₂₀, МН/м²	k ₂₁, МН/м³	k ₁₁, МН/м²
			-1	-3

				-2					-1



					-3	-1		-1


			-3		-4			-4

Основные положения теории упругости

В теории упругости из конструкции сечениями выделяется бесконечно-малый элемент (см.рис.2). На него со всех сторон соседние элементы воздействуют распределенными по поверхности напряжениями σ_х, σ_у, σ_z,…. Они определяются из системы уравнений, которые в общем случае представляют собой совокупность уравнений равновесия, законы Гука, Дюгамеля-Неймана, кинематические соотношения Коши или условия совместности деформаций. Эти уравнения составляются для всех малых элементов и являются объектом изучения теории упругости.

Рассмотрим плоскую задачу теории упругости. Ниже приводятся соотношения для плоского напряженного состояния (ПНС), которое возникает в тонких плитах, балках-стенках, оболочках. Здесь принимают: (см. рис.3).

Дифференциальные уравнения равновесия внутреннего бесконечно-малого элемента 1 (см.рис.2 и рис.4) имеют вид.

(1)

где - проекции внешней объемной силы на оси координат.

Алгебраические уравнения равновесия граничного элемента 2 (см.рис.2 и рис.5) имеют вид:

(2)

Кинематические соотношения Коши имеют вид:

(3)

Закон Гука для ПНС:

(4)

где , - модуль упругости, - коэффициент Пуассона

Следствием из соотношений Коши и закона Гука является уравнение совместности деформаций:

(5)

где - Модуль сдвига, - модуль упругости

Метод коллокаций

Для решения плоской задачи теории упругости

Суть метода. Искомые напряжения представляются в виде суммы функций с неизвестными коэффициентами. Например:

(6)

Функции при коэффициентах выбираются на усмотрение вычислителя из соображений простоты или точности решения. Обычно удобными являются степенные и тригонометрические функции. Коэффициенты a_ij, b_ij, c_ij – отыскиваются из уравнений равновесия.

Запишем уравнения равновесия (1) для внутреннего элемента i (см.рис.6). Подставляем сюда заданные нами функции для σ_x, τ_xy, σ_y. Тогда получим:

(7)

Нашли два уравнения относительно искомых коэффициентов.

Аналогично для i –ого элемента записываются условия совместности деформаций (5):

(8)

Кроме внутренних элементов аналогичным образом необходимо записать уравнения равновесия граничных элементов. Например, для граничного элемента j (см. рис.7) уравнения равновесия примут вид:

(9)

Обеспечить выполнение этих уравнений во всех элементах обычно не представляется возможным, поэтому удовлетворяем их только в некоторых элементах – элементах коллокации. Поскольку элементы бесконечно малы, то координаты центров этих элементовназываются точками коллокаций. В них мы и удовлетворяем уравнения равновесия.

Число всех точек коллокаций выбирается так, чтобы число уравнений было равно числу всех неизвестных коэффициентов. Из системы алгебраических уравнений (7)-(9) определяются неизвестные a_ij, b_ij, c_ij. Подставляя их в (6), можно получить выражения для напряжения в любой точке.

Пример расчет балки-стенки методом коллокаций

Проведем расчет балки-стенки высотой и шириной . Поверхностная нагрузка по граням балки-стенки (см. рис.1) меняется по линейному закону. Примем, например,

(10)

Таким образом, для поверхностной нагрузки имеем:

(11)

Решение будем искать в виде:

(12)

В этом случае условие совместности (5) удовлетворяется автоматически (тождественно).

Необходимо определить неизвестные коэффициенты .

Из уравнений равновесия (1) внутреннего элемента 1 (см. рис.8) (первая точка коллокации) получаем:

(13)

Составим уравнение равновесия граничного элемента 2 с координатами (0,y):

(14)

Аналогично для граничного элемента 3 с координатами (x,h):

(15)

Для граничного элемента 4 с координатами (b,y):

(16)

Таким образом, неизвестны 9 коэффициентов согласно выражениям (12). Необходимо составить 9 алгебраических уравнений. Для этого берем следующие конкретные точки коллокации граничных элементов.

Согласно (14) для второй точки коллокации с координатами (0,0):

(17)

По уравнениям (15) для третьей точки коллокаций с координатами (0,h):

(18)

Согласно (15) для четвертой точки коллокаций с координатами (b,h):

(19)

По выражениям (16) для пятой точки коллокаций с координатами (b,h/2):

(20)

Таким образом, из 10 уравнений одно можно убрать (на усмотрение расчетчика), поскольку решение получается приближенное.

Разрешив систему уравнений (13), (17)-(20), получаем следующие искомые константы:

(21)

Окончательно выражения для напряжений примут вид:

(22)

На рис.9, рис.10, рис.11 построены эпюры напряжений в сечениях , .

Расчет на прочность

Для бетона в случае ПНС применим критерий Г.А. Гениева, который имеет вид:

(23)

Здесь -расчетные значения сопротивлению бетона сжатию и растяжению соответственно, - -главные напряжения.

Например, примем в расчетах марку бетона B30, для которого .

Главные напряжения , как известно, определяются по формулам:

(24)

Определим по эпюрам напряжений (рис.9 - рис.11) опасные точки в поперечном сечении. На рис. 12 изображены опасные точки. Проверим прочность в каждой из них.

Прочность в точке А