О. А. ЗАБЛОЦКАЯ, Л. С. ПЕТРОВА, А. М. СОКОЛЬНИКОВА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА
«КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ»
Омск 2008
Министерство путей сообщения Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Омский государственный университет путей сообщения
_________________
О. А. Заблоцкая, Л. С. Петрова, А. М. Сокольникова
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА «Кратные интегралы. теория поля»
Утверждено редакционно-издательским советом университета
Омск 2008
УДК 517.37(075.8)
ББК 22.161.12я73
З−12
Методические указания к изучению раздела «Кратные интегралы. Теория поля»:Методические указания по высшей математике / О. А. Заблоцкая, Л. С. Петрова, А. М. Сокольникова; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2008. 45 с.
Методические указания предназначены для изучения данного раздела курса математики и закрепления навыков решения задач студентами. В первой главе указаний приводятся подробные решения задач, встречающихся в типовом расчете. Вторая глава содержит 30 вариантов заданий. Каждый вариант состоит из 11 задач, содержание которых охватывает практически все основные вопросы программы втуза, связанные с темой «Кратные интегралы. Теория поля».
Предназначены для студентов второго курса технических специальностей очной формы обучения.
Библиогр.: 5 назв., рис. 10.
Рецензенты: доктор физ.-мат. наук И.И.Гончар,
канд. пед. наук Е. И. Федорова.
_______________________________
ÓОмский гос. университет
путей сообщения, 2008
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение............................................................................................ 5
2. Методические указания по решению типовых заданий.................. 6
3. Варианты типовых заданий для самостоятельной работы............. 16
Библиографический список................................................................... 44
ВВЕДЕНИЕ
Математическую основу раздела учебного курса математики «Кратные интегралы. Теория поля» составляет интегрирование скалярных и векторных функций векторного аргумента. Настоящие методические указания имеют целью помощь студентам при освоении техники интегрирования и иллюстрацию физических приложений указанной темы. Они содержат варианты индивидуальных заданий для студентов очной формы обучения.
В первой части приводятся подробные решения типовых задач по рассматриваемой теме. Однако объем методических указаний не позволяет поместить в них разбор всех видов каждого типа задач. Поэтому авторы рекомендуют при выполнении индивидуальных заданий обратить внимание на библиографический список и воспользоваться, в частности, источниками [1, 3, 5].
1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ
Задача 1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .
Решение. Область интегрирования D ограничена линиями, имеющими уравнения , , , и изображенными на рис.1.
Рис. 1 |
Используя свойства интеграла по области, получим
Задача 2. Вычислить повторный интеграл .
Решение. Сначала вычисляем внутренний интеграл, где х является переменной величиной, а у − постоянной. Затем полученный результат интегрируем по переменной у:
Задача 3. Найти массу пластины, ограниченной линиями у =2, у =4, х =0, х=у, если в каждой ее точке поверхностная плотность .
Решение. Масса пластины вычисляется по формуле
Рис. 2 |
где D − область, которую занимает пластина (рис.2). Для вычисления двойного интеграла перейдем к интегралу повторному, при этом предпочтительным является следующий порядок интегрирования: внутреннее интегрирование по переменной х, внешнее − по у (иначе для определения массы пришлось бы вычислять два повторных интеграла вместо одного).
Задача 4. Найти площадь области, ограниченной линиями , .
-4 |
-4 |
Рис. 3 |
Чертеж области D изображен на рис.3. Чтобы не разбивать область на две и не вычислять два повторных интеграла вместо одного, выбираем следующий порядок интегрирования: внутреннее интегрирование по переменной х, внешнее − по у. Находим пределы интегрирования и вычисляем площадь:
Задача 5. Перейдя к полярной системе координат, вычислить интеграл , если D − область, ограниченная линиями , .
Рис. 4 |
Задача 6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , , , .
Рис. 5 |
Рис. 6 |
Задача 7. Найти массу тела Т, ограниченного поверхностями , , , , если плотность меняется по закону .
Рис. 7 |
Рис. 8 |
Решение. Масса тела вычисляется по формуле , где плотность . Тело Т изображено на рис.7, а плоская область интегрирования − на рис.8.
Задача 8. Вычислить , где − отрезок прямой, соединяющий точки и .
Решение. Пользуясь уравнением прямой, проходящей через две точки , получим уравнение линии интегрирования – прямой : .Так как , то , . Тогда . Вычислим криволинейный интеграл:
Задача 9. Вычислить работу силового поля вдоль дуги параболы от точки до точки .
Решение. Работа силового поля вдоль дуги MN вычисляется с помощью криволинейного интеграла второго рода по формуле , где , . Найдем пределы интегрирования: началу дуги MN соответствует , концу . Учитывая, что и , получаем интеграл
Задача 10. Найти циркуляцию вектора вдоль контура АВСА, получаемого при пересечении параболоида с координатными плоскостями (рис.9). Решить задачу с помощью непосредственного вычисления циркуляции и с помощью формулы Стокса.
Рис. 9 |
а) На АВ и , следовательно, . Парабола АВ имеет уравнение . Отсюда , . При перемещении по дуге АВ от точки А до точки В значение х убывает от 1 до 0. Таким образом,
б) На ВС , , . Парабола ВС имеет уравнение . При перемещении по дуге ВС от точки В до точки С переменная z возрастает от 0 до 1. Следовательно,
в) На СА , , . СА − дуга окружности , причем при перемещении от точки С в точку А переменная z убывает от 1 до 0. Следовательно,
Таким образом,
2) Вычислим циркуляцию с помощью формулы Стокса в координатной форме . В качестве поверхности можно взять, например, часть поверхности параболоида, ограниченную контуром АВСА. При этом берется верхняя её сторона, т.к. с конца нормали к этой стороне обход контура виден совершающимся против часовой стрелки. Учитывая, что , , , , , получаем интеграл
Рис. 10 |
Задача 11. Вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону поверхности пирамиды, ограниченной
плоскостью и координатными
плоскостями (рис.10): 1) непосредственно; 2) с помощью теоремы Остроградского− Гаусса.
Решение. 1) Поверхность пирамиды ОАВС
состоит из треугольников АОВ, АОС, ВОС и АВС. Следовательно, искомый поток есть сумма потоков через поверхности этих треугольников, причем берется та их сторона, которая является внешней для пирамиды.
а) Вычислим поток через поверхность треугольника АВС:
.
Для интеграла независимыми переменными являются у и z. Проекцией поверхности на координатную плоскость будет треугольник ВОС. Преобразуем подынтегральную функцию, выразив х через у и z из уравнения поверхности : . Вектор нормали к выбранной стороне поверхности образует с осью Ох острый угол, поэтому при переходе от поверхностного интеграла второго рода к двойному берем знак «+». Получаем:
Для интеграла независимыми переменными являются х и z. Проекцией поверхности на координатную плоскость будет треугольник АОС. Подынтегральная функция не содержит зависимой переменной у, поэтому преобразовываться не будет. Вектор нормали к выбранной стороне поверхности образует с осью Оу острый угол, поэтому при переходе от поверхностного интеграла второго рода к двойному берем знак «+».
Для интеграла независимыми переменными являются х и у. Проекцией поверхности на координатную плоскость будет треугольник АОВ. Подынтегральная функция не содержит зависимой переменной z. Вектор нормали образует с осью Оz острый угол. Следовательно,
Таким образом,
б) Вычислим поток через поверхности треугольников АОВ, АОС, ВОС.
Поэтому:
Следовательно,
Тогда:
Суммируя все вычисленные потоки, получаем:
2) Формула Остроградского− Гаусса имеет следующий вид:
, где , Т − тело, ограниченное поверхностью .
Чтобы воспользоваться этой формулой, возьмем в качестве тела Т область, ограниченную поверхностью пирамиды АОВС.
2. Варианты типовых заданий для самостоятельной работы
Задача 1. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.
1. а) | б) |
2. а) | б) |
3. а) | б) |
4. а) | б) |
5. а) | б) |
6. а) | б) |
7. а) | б) |
8. а) | б) |
9. а) | б) |
10. а) | б) |
11. а) | б) |
12. а) | б) |
13. а) | б) |
14. а) | б) |
15. а) | б) |
16. а) | б) |
17. а) | б) |
18. а) | б) |
19. а) | б) |
20. а) | б) |
21. а) | б) |
22. а) | б) |
23. а) | б) |
24. а) | б) |
25. а) | б) |
26. а) | б) |
27. а) | б) |
28. а) | б) |
29. а) | б) |
30. а) | б) |
Задача 2. Вычислить: а) повторный интеграл; б) двойной интеграл по области D, ограниченной данными линиями.
1. а) б) D:
2. а) б) D:
3. а) б) D:
4. а) б) D:
5. а) б) D:
6. а) б) D:
7. а) б) D:
8. а) б) D:
9. а) б) D:
10. а) б) D:
11. а) б) D:
12. а) б) D:
13. а) б) D:
14. а) б) D:
15. а) б) D:
16. а) б) D:
17. а) б) D:
18. а) б) D:
19. а) б) D:
20. а) б) D:
21. а) б) D:
22. а) б) D:
23. а) б) D:
24. а) б) D:
25. а) б) D:
26. а) б) D:
27. а) б) D:
28. а) б) D:
29. а) б) D:
30. а) б) D:
Задача 3. Найти массу пластины D, ограниченной данными линиями и имеющей поверхностную плотность
1. D: а) б)
2. D: а) б)
3. D: а) б)
4. D: а) б)
5. D: а) б)
6. D: а) б)
7. D: а) б)
8. D: а) б)
9. D: а) б)
10. D: а) б)
11. D: а) б)
12. D: а) б)
13. D: а) б)
14. D: а) б)
15. D: а) б)
16. D: