Библиографический список

ЕН.Ф.01 МАТЕМАТИКА

 

Методические указания и задания

к выполнению расчетно- графической работы №1

 

 

Направлений

111400 Водные биоресурсы и аквакультура

111100 Зоотехния

110900 Технология производства и переработки

 

 

Уфа 2013

 

УДК 51

ББК 22.1

М 54

 

 

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета биотехнологии и ветеринарной медицины

 

Составитель: доцент Авзалова З.Т.

 

 

Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.

 

 

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики

доцент Лукманов Р.Л.

 

 

г.Уфа, БГАУ, кафедра математики
В РГР №1 включены задания из разделов: «Линейная алгебра» и «Аналитическая геометрия на плоскости».

Прежде чем приступить к решению задач необходимо подготовить теоретический материал и обратить внимание на следующее:

1) Основные понятия связанные с матрицами (матрица-строка, матрица-столбец и т.д.).

2) Действия над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц), их свойства.

3) Определитель квадратной матрицы, способы вычисления определителя.

4) Обратная матрица, ее строение.

5) Системы линейных алгебраических уравнений. Решение СЛАУ по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы.

6) Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы.

7) Основные задачи аналитической геометрии на плоскости:

а) нахождение расстояния между двумя точками;

б) деление отрезка в данном отношении.

8) Различные виды уравнения прямой на плоскости.

9) Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

РГР № 1 выполняется по СТО 0493582-003-2005.

Варианты заданий указываются преподавателем.

Далее рассмотрим образец решения некоторых типовых задач.

 

Задача 1. Решим систему уравнений с помощью формул Крамера.

 

Для этого вычислим главный определитель системы , который составляется из коэффициентов при неизвестных и вычислим его по правилу «треугольников»:

Так как =-20 0, делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители , которые получаются из главного путем замены столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной на столбец свободных членов.

 

 

 

Тогда неизвестные x, y, z по формулам Крамера находятся следующим образом:

х= , у= ; z=

 

Сделаем проверку, подставив найденные значения неизвестных в исходную систему:

,

 

Т.к. все три уравнения обращаются в верные равенства, то решение найдено правильно.

 

Ответ: (0;-1;-2).

Задача 2. Даны вершины треугольника АВС: А(-2;5); В(10;-4); С(8;10). Требуется найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) угол А; 4) уравнение медианы АD; 5) уравнение высоты СЕ и ее длину.

 

1)Расстояние между двумя точками А (х ; );В (х у определяется по формуле d= (1),

воспользовавшись которой находим длину стороны АВ: d= = = =15.

2)Уравнение прямой, проходящей через заданные точки А(х ;у ) и В(х ;у ) имеет вид: (АВ): . (2)

4у-20=-3х-6; 3х+4у-14=0- общее уравнение прямой (АВ).

Угловой коэффициент прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у=kx+b.

У нас 4у= -3х+14, , т.е.

Подставляя в (2) координаты А и С получим уравнение прямой (АС):

х+2=2у-10,

х-2у+12=0- общее уравнение прямой (АС),

3) Требуется найти угол А между прямыми (АВ) и (АС), подставим угловые коэффициенты и в формулу:

(3),

, следовательно, А=arctg2 .

4)AD- медиана, поэтому точка D делит отрезок ВС пополам. Для вычисления координат середины отрезка воспользуемся следующими формулами:

(4),

в которые подставим координаты точек В и С:

; у = то есть D(9;3).

Подставив в формулу (2) координаты точек А и D получим уравнение прямой (AD)- медианы:

(AD): 11у-55=-2х-4;

(AD): 2х+11у-51=0.

5) Высота СЕ перпендикулярна стороне АВ. Известно, что если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением: k , то есть k .

Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид: (5).

Подставив в (5) координаты точки С и угловой коэффициент k получаем

(CE): у-10= 3у-30=4х-32; 4х-3у-2=0.

Чтобы найти длину (СЕ), определим координаты точки Е- точки пересечения высоты (СЕ) и прямой (АВ). Для этого решаем совместно систему уравнений (АВ) и (СЕ):

. Умножим первое уравнение на 4, а второе на- 3, получим , сложив эти два уравнения, получим 25y=50, т.е. y=2. Найдём x, подставив y=2 в первое из исходных уравнений: 3x+8-14=0, откуда x=2.

Следовательно, Е(2;2). Длина высоты СЕ определяется по формуле (1):

d= = = =10.

 

Задание 1. Найдите матрицу , если:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

 

29) ;

30) .

 

Задание 2. Решите матричные уравнения и проверьте подстановкой:

 

1 a) ; б) ;

2 а) ; б) ;

3 а) ; б) ;

4 a) ; б) ;

5 а) ; б) ;

6 а) ; б) ;

7 a) ; б) ;

8 а) ; б) ;

9 а) ; б) ;

 

10 а) ; б) ;

11 а) ; б) ;

12 а) ; б) ;

13 а) ; б) ;

14 а) ; б) ;

15 а) ; б) ;

16 а) ; б) ;

17 а) ; б) ;

18 а) ; б) ;

19 а) ; б) ;

20 а) ; б) ;

21 а) ; б) ;

 

22 а) ; б) ;

23 а) ; б) ;

24 а) ; б) ;

25 а) ; б) ;

26 а) ; б) ;

27 а) ; б) ;

28 а) ; б) ;

29 а) ; б) ;

30 а) ; б) .

 

Задание 3. Решите систему уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:

1 2

3 4

5 6

 

7 8

9 10

11 12

13 14

15 16

17 18

19 20

21 22

23 24

25 26

27 28

29 30

Задание 4. В задачах 1-20 даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) угол А в радианах; 4) уравнение медианы АD; 5) уравнение высоты СЕ и ее длину. Сделать чертеж.

 

N зад.	А	В	С	N зад.	А	В	С
	(-7;6)	(2;-6)	(7;4)		(2;3)	(-10;-6)	(0;-11)
	(-5;7)	(4;-5)	(9;5)		(5;4)	(-7;-5)	(3;-10)
	(-3;5)	(6;-7)	(11;3)		(3;6)	(-9;-3)	(1;-8)
	(-6;10)	(3;-2)	(8;8)		(8;5)	(-4;-4)	(6;-9)
	(-4;8)	(5;-4)	(10;6)		(4;11)	(-8;2)	(2;-3)
	(-8;9)	(1;-3)	(6;7)		(4;-3)	(7;1)	(8;-1)
	(-9;12)	(0;0)	(5;10)		(-5;-2)	(-1;8)	(12;4)
	(-2;11)	(7;-1)	(12;9)		(-9;9)	(-5;-9)	(2;7)
	(-1;4)	(8;-8)	(13;2)		(-5;-2)	(2;7)	(9;4)
	(1;3)	(10;-9)	(15;1)		(2;-5)	(6;3)	(12;-3)
	(10;8)	(-2;-1)	(8;-6)		(-2;2)	(4;10)	(8;-2)
	(7;9)	(-5;0)	(5;-5)		(-4;1)	(2;7)	(8;-3)
	(9;10)	(-3;1)	(7;-4)		(6;4)	(5;6)	(2;2)
	(11;2)	(-1;-7)	(9;-12)		(12;3)	(7;5)	(4;1)
	(6;7)	(-6;-2)	(4;-7)		(11;2)	(5;6)	(3;-2)

 

Библиографический список

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М.: Рольф, 2010.-288с., с ил.

2. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. –М.: Рольф, 2009.-576с., с ил.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1.-М.: Высшая школа, 2008.-304 с.