Программа
государственного междисциплинарного экзамена по направлению
01.03.02 - Прикладная математика и информатика
на 2017/2018 учебный год
Математический анализ
| 1. | Предел и непрерывность функций. Свойства непрерывных функций. |
| 2. | Дифференцируемость функций многих переменных, частные производные. |
| 3. | Интеграл Римана и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. |
| 4. | Необходимое и достаточное условия экстремума функции многих переменных. |
| 5. | Числовые ряды: признаки сходимости. |
| 6. | Формула Грина. |
| 7. | Дифференцируемые функции: теоремы о среднем. |
| 8. | Степенные ряды, формула Коши-Адамара. |
| 9. | Функциональные ряды, свойства равномерно сходящихся рядов. |
| 10. | Ряды Фурье по ортонормированным системам в евклидовом пространстве, неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. |
| 11. | Теорема Римана-Лебега для тригонометрических рядов. |
| 12. | Аналитические функции. Теорема Коши и интегральная формула Коши. |
| 13. | Разложение аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана. |
| 14. | Конформные отображения. Отображения, осуществляемые основными элементарными функциями. |
| 15. | Первый и второй замечательные пределы. |
Литература:
| 1. | Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа [учебник в 2 ч.] – 9-е изд., стер. - Санкт-Петербург; Москва; Краснодар: Лань, 2008. - Ч. 1. - 440 с. Ч. 2. - 463 с. |
| 2. | Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. Физматлит, 2009. |
| 3. | Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа [Текст]: учебник для бакалавров / Л. Д. Кудрявцев; Моск. физ.-техн. ин-т (гос. ун-т). - 6-е изд., перераб. и доп. - Москва: Юрайт, 2014. - 702 с. |
| 4. | Морозова В.Д. Теория функций комплексного переменного. М. Изд-во МГТУ, 2009. |
| 5. | Зорич В.А. Математический анализ. В 2 т.- изд.5-е. М.; МЦНМО, 2007. |
Геометрия и алгебра
| 1. | Ранг матрицы. Условие совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера - Капелли). |
| 2. | Характеристический многочлен линейного отображения. Теорема о корнях характеристического многочлена. |
| 3. | Основная теорема алгебры (без доказательства), следствия из основной теоремы алгебры (с доказательством). |
| 4. | Кривые второго порядка, их классификация. |
| 5. | Ортонормированный базис в конечномерном евклидовом пространстве. Выражение скалярного произведения в ортонормированном базисе. |
| 6. | Ортогональные операторы в евклидовом пространстве и их свойства. |
Литература:
| 1. | Кострикин А.И. Линейная алгебра и геометрия [Текст]: учеб. пособие / А.И. Кострикин, Ю. И. Манин; - 4-е изд., стер. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008. – 302 с. |
| 2. | Курош А.Г. Курс высшей алгебры [Текст]: учебник / А. Г. Курош. - 17-е изд., стер. - Санкт-Петербург; Москва; Краснодар: Лань, 2008. - 431 с. |
Дифференциальные уравнения
| 1. | ФСР линейного однородного уравнения n-го порядка. Общий вид решения ли-нейного дифференциального уравнения. |
| 2. | Собственные значения и собственные функции простейшей краевой задачи. Теорема об ортогональности собственных функций. |
| 3. | Формула Остроградского-Лиувилля. |
| 4. | Метод вариации произвольных постоянных для линейного дифференциального уравнения n- порядка (метод Лагранжа). |
Литература:
| 1. | Треногин В.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст]: учебник / В. А. Треногин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 311, [1] с: рис. - Библиогр.: с. 308-311 (68 назв.). - Предм. указ.: с. 306-307. |
| 2. | Гуревич А.П. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст]: учебное пособие / А.П. Гуревич, В.В. Корнев; Сарат. гос. ун-т им. Н.Г. Чернышевского. - Саратов: Издательство Саратовского университета, 2013. - 173 с. |
Функциональный анализ
| 1. | Принцип сжимающих отображений. |
| 2. | Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. |
| 3. | Теорема о проекции. |
Литература:
| 1. | Власова Е.А. Элементы функционального анализа [Электронный ресурс] / Е. А. Власова. - Москва: Лань", 2015. Книга находится в базовой версии ЭБС "Лань". |
Теория вероятностей и математическая статистика
| 1. | Вероятностное пространство, свойства вероятностей, формула полной вероятности. |
| 2. | Случайная величина, функция распределения и её свойства; плотность распределения. Независимость случайных величин. |
| 3. | Ковариация и коэффициент корреляции двух случайных величин и их свойства. |
| 4. | Выборочные характеристики. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценок. Асимптотические свойства выборочных характеристик. |
| 5. | Доверительное оценивание. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения. |
Литература:
| 1. | Смирнов А.К. Вероятностные методы анализа. Теория вероятностей.- Издательский центр «Наука», 2013.-94с. ISBN 978-5-9999-1718-8 |
| 2. | Боровков А.А. Теория вероятностей. Изд.5. М.: Физматлит, 2009. 656 с. |
| 3. | Боровков А.А. Математическая статистика. 3-е изд., испр. М.: Физматлит, 2007. – 703 с |
Уравнения математической физики
| 1. | Задача Коши для уравнения колебания струны. Метод бегущих волн. |
| 2. | Решение смешанной задачи о колебаниях струны методом разделения переменных. |
| 3. | Теорема о максимуме и минимуме для уравнения теплопроводности. |
| 4. | Задача Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона. |
| 5. | Основная интегральная формула для гармонических функций. |
Литература:
| 1. | Владимиров В.С. Уравнения математической физики [Текст]: учеб. для вузов / В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. - 2-е изд., стер. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 398 с. |
| 2. | Юрко В.А. Уравнения математической физики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. |
Численные методы
| 1. | Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и Ньютона. |
| 2. | Численное интегрирование. Интерполяционные квадратурные формулы. |
| 3. | Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. |
| 4. | Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона. |
| 5. | Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. |
Литература:
| 1. | Бахвалов Н.С. Численные методы [Текст]: учебное пособие / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 7-е изд. - Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. - 636 с. |
| 2. | Самарский А.А. Введение в численные методы [Текст]: учеб. пособие для вузов / А. А. Самарский. - 5-е изд., стер. - Санкт-Петербург; Москва; Краснодар: Лань, 2009. - 288 с. |