Описание решаемой задачи. При проектировании свайных фундаментов возможны два варианта расчёта: упрощённый расчёт с определением только продольных сил в сваях или расчёт свайного фундамента как рамы с упругоподатливыми связями.
Упрощённый способ расчёта (рис. 1) пригоден в условиях, когда сваи заделаны в основание на полную длину (низкий ростверк), горизонтальная нагрузка отсутствует или передаётся на основание через плиту ростверка, эксцентриситеты вертикальных сил не столь значительны, чтобы вызывать повороты плиты. В этих случаях достаточно использовать формулу, которая содержится в п. 7.1.12 СП 24.13330.2011 (актуализированная редакция СНиП 2.02.03-85):
Ni=Nd/n ± Myxi/Σxi2 ± Mxyi/Σyi2, (5.1)
где Ni – продольная сила в i- й свае; Nd – вертикальная составляющая общей нагрузки на свайный фундамент, My и Mx – моменты относительно горизонтальных осей X и Y, проходящих через центр тяжести фундамента, п – число свай в фундаменте, xi, yi – координаты i- й сваи в плоскости XOY нижней грани плиты свайного ростверка (рис. 1).
Рис. 1. Схема к расчету продольных сил в сваях по формуле (5.1).
Вариант более полного расчёта (как рамы с упругоподатливыми связями) предназначен для проектирования свайных фундаментов, на которые действуют значительные горизонтальные и моментные нагрузки, вызывающие перемещения плиты. Примерами объектов с такими воздействиями на фундаменты являются следующие группы сооружений:
– распорные (арочные, сводчатые), удерживающие (противооползневые), подпорные (ограждающие) сооружения;
– башенные сооружения (воспринимающие значительные ветровые нагрузки);
– опоры линий электропередач (воспринимающие неуравновешенные горизонтальные нагрузки от натяжения проводов);
– фундаменты устоев и промежуточных опор мостовых сооружений, воспринимающие комплекс горизонтальных силовых воздействий: боковое давление грунта, силы торможения, поперечные удары, ледовую и другие нагрузки.
Рис. 2. Расчётные схемы заглублённой части свай и условия закрепления нижних концов: 1 – свая, 2 – форма эпюры коэффициента постели Cz = Kz; 3 – нижний конец сваи свободен, 4 – нижний конец сваи заделан
Имеют место условия (высокие ростверки), когда сваи заделаны в основание на часть длины и свободны в пределах между плитой свайного фундамента (или ригелем опоры) и поверхностью основания. Такие расчётные схемы присущи рамным конструкциям различного назначения и свайным фундаментам опор мостов с прогнозируемыми при проектировании расчётными размывами оснований.
Расчётная схема (рис. 2) сваи (забивной, буровой, сваи-оболочки) основывается на методе местных упругих деформаций с треугольной формой распределения коэффициента постели и допущении об условной ширине сваи, отражающей пространственные условия взаимодействия с грунтом.
Силовое взаимодействие сваи и грунта основания описывается функцией коэффициента постели Cz в соответствии уравнением
Cz = Kz, (5.2)
где K – коэффициент пропорциональности с размерностью кН/м4, принимаемый по табл. 1 в зависимости от вида грунта; z – координата длины сваи, отсчитываемая от поверхности основания; на верхней границе основания z= 0; координата нижнего конца сваи z=h, где h – длина заглублённой части сваи на рис. 2. Коэффициент постели выражает отношение контактных давлений σz и совместных горизонтальных перемещений yz сваи и грунтового основания: Cz=σz/yz.
Таблица 1
Коэффициенты пропорциональности K, кН/м4
| Виды грунта | Для свай с d ≤0.8 м | Для свай с d> 0.8 м |
| Текучепластичные суглинки, глины; илы | 650÷2500 | 500÷2000 |
| Мягкопластичные супеси, суглинки и глины; пылеватые пески, а также рыхлые пески | 2500÷5000 | 2000÷4000 |
| Тугопластичные супеси, суглинки, глины; пески мелкие и средней крупности | 5000÷8000 | 4000÷6000 |
| Твёрдые супеси, суглинки, глины; пески крупные | 8000÷13000 | 6000÷10000 |
| Пески гравелистые, гравий, гальки | 13000÷25000 | 10000÷20000 |
Рис. 3. Схемы к определению коэффициентов пропорциональности K и расчётной ширины bp; a – испытание сваи поперечной силой: 1 – свая,
2 – домкрат, 3 – бетонный упор, 4 – прогибомеры; б – зависимости y0=f (Q): 5 – действительная, 6 – расчётная; в – сечение сваи 7 и условной стенки 8 шириной bp
Значения коэффициентов K табл. 1 получены путём обобщения результатов нескольких серий экспериментов со сваями разных диаметров, выполненных российскими исследователями в 1944 – 1966 г. г. по схемам, подобным изображению на рис. 3, а. Зависимость горизонтальных перемещений у0 верхних концов свай (на уровне верхней грани заделки) от испытательной нагрузки Q во всех опытах получена криволинейной, приближённо описываемой соотношением у0=kQ 1.8 (Е. П. Крюков, 1963). При назначении коэффициентов K принята связь у0=f (Q) в виде прямой 2, пересекающей криволинейную диаграмму 1 в точке, соответствующей перемещению у0= 1 см (рис. 3, б). Это означает, что если по расчёту получено значение у0 меньше (больше) 1 см, то фактическое горизонтальное перемещение верхнего конца свай меньше (больше) расчётного.
К. С. Завриевым и его сотрудниками опытным путём с применением теории подобия определена условная расчётная ширина сваи (рис. 3, в) bp= 2 kф ×1.53.32 lgd, которая отражает в расчёте по плоской схеме фактические пространственные условия решаемой задачи. Приближённо условная ширина сваи определяется по одной из следующих формул:
bp= kф (1.5 d + 0.5 м) при d ≤ 0.8÷1.0 м;
bp= kф (d +1.0 м) при d ≥ 0.8÷1.0 м, (5.3)
где d – сторона (диаметр) сечения сваи, kф – коэффициент формы сечения сваи: прямоугольной (kф= 1.0), круглой (kф= 0.9). Иными словами bp – это ширина условной стенки, эквивалентной свае по взаимодействию с грунтом. При решении контактной задачи изгибная жёсткость сваи принимается в соответствии с размерами её сечения.
На распределение перемещений и усилий в двух- и многорядных системах влияет податливость (неравномерные осадки) основания под нижними концами свай. На основании обобщения результатов статических испытаний более 100 свай была построена диаграмма п=f (Δ)(рис. 3, а) «накоплений частотности» осадок свай при нагрузках Р0, равных половине несущей способности Fd (К. С. Завриев, Г. С. Шпиро, 1970). Под «накоплением частотности» п понимается отношение числа результатов, для которых осадки свай имели значения, меньшие Δ, к общему числу испытаний. Из диаграммы на рис. 35, а следует, что в 83% случаев осадки свай при нагрузках Р0= 0.5 Fd были не более 5 мм.
Полученное таким способом соответствие между осадкой сваи Δ = 5 мм = 0.005м и продольной силой Р0= 0.5 Fd на практике при расчётах свайных фундаментов учитывается двумя способами (рис. 4, б):
1) путём условного продолжения свай с жёсткостью ЕА (А – площадь сечения сваи) до размера «длины сжатия»
(5.4)
где l – фактическая длина сваи в метрах.
а) б)
Рис. 4. К определению податливости сваи в продольном направлении: а− кривая накоплений частности осадок свай (К.С. Завриев, Г.С. Шпиро, 1970); б – схемы к определению «длины сжатия» lN и параметра Аs; 1 – свая длиной l=l0+h, 2 – условная часть «длины сжатия» 
, 3 – упругоподатливая связь с жёсткостью Аs
2) путём введения на нижних концах свай упругоподатливых связей в виде стержней длиной lР= 1.0 м с жёсткостью при «сжатии-растяжении»
(5.5)
Физическое содержание параметра Аs – сила, вызывающая единичное вертикальное сжатие основания под нижним концом сваи, или (иначе) жёсткость при сжатии условного стержня («пружины») длиной 1 м. Размерность кН.
Расчёт свайного фундамента средствами МКЭ. В отличие от прежних описаний решения задачи (К. С. Завриев, Г. С. Шпиро, 1970; приложение 1 к СНиП 2.02.03-85 и др.) в настоящем параграфе изложен способ расчёта на математической основе МКЭ.
Интенсивность погонной контактной нагрузки, связанной с силовым взаимодействием сваи и грунтового основания, описывается уравнением
pz=σzbp=yzCzbp. (5.6)
Заглублённая (заделанная в основание) часть сваи делится на короткие (как правило, равные) участки (стержневые конечные элементы, КЭ) с размером (длиной) t= 0.5÷1.0 м, но не более 0.1 h (рисунок 48, а, б, в). В узлах на границах стержневых КЭ вводятся горизонтальные упругоподатливые связи (КЭ в виде условных «пружин»), заменяющие участки эпюры Cz длиной t, имитирующие упругий отпор грунта на этих участках. Физически упругоподатливые связи представляют собой условные стержни длиной 1 м с жёсткостью при «растяжении-сжатии»
Bz=bptKz, (5.7)
противодействующие горизонтальным (поперечным) перемещениям сваи, но не препятствующие повороту (угловому перемещению) оси сваи.
| Рис. 5. Расчетная схема силового взаимодействия заглубленной части сваи с основанием: а – общий случай; б – вариант жесткой заделки нижнего конца сваи; в – отрезок t условной стенки шириной bр, эквивалентной свае по взаимодействию с грунтом; |
1 – свая; 2, 3 – эпюры распределения коэффициентов постели Сz=Kz: однородное основание, многослойное основание; 4 – упругоподатливые связи (условные «пружины»), моделирующие отпор грунта на участках сваи длиной t; 5 – упругоподатливая связь на нижнем конце сваи; 6 – жёсткая заделка нижнего конца сваи.
Жёсткость упругоподатливых связей на концах сваи (где в расчёт вводятся отрезки длины сваи, равные t/ 2): на поверхности основания, при z= 0, и на нижнем конце сваи, при z=h
, 
. (5.8)
Физическое содержание параметров Вz, Вz=0, Вz=h – силы, вызывающие единичные продольные (горизонтальные) перемещения условных «пружин» длиной 1 м. Размерность – кН/м.
Вертикальные связи, моделирующие податливость основания под нижними концами свай, представлены на расчётной схеме МКЭ условными стержнями («пружинами») длиной lР= 1.0 м с жёсткостью при «сжатии-растяжении»
.
Упругоподатливая связь, противодействующая повороту нижнего конца сваи, задаётся в виде числа Сβ с размерностью кНм/радиан. Параметр Сβ выражает момент, вызывающий единичный поворот основания под нижним концом сваи
Сβ=С0I0,(5.9)
где С0 =200 Р0/А0 – коэффициент постели основания под нижним концом сваи, А0, I0 – площадь и момент инерции сечения нижнего конца сваи, контактирующего с основанием.
Рис. 6. Варианты закрепления нижнего конца сваи: а – упругоподатливая связь 1 против продольного перемещения, беспрепятственный поворот; б – упругоподатливые связи против продольного перемещения 1, поворота 2 и неподвижное закрепление по горизонтали; в – жесткая заделка 3.
Закрепление нижнего конца сваи против продольного перемещения и поворота возможно в трёх вариантах (рис. 6,а,б,в):
1) упругоподатливая вертикальная (или, при наклонных сваях, продольная, продолжающая ось сваи) связьв виде упругого стержня длиной lР = 1.0 м с жёсткостью Аs и свободный поворот;
2) упругоподатливые связи: при вертикальном (продольном) смещении – упругий стержень длиной lР =1.0 м с жёсткостью Аs, при повороте– условная пружина с жёсткостью Сβ и неподвижное закрепление по горизонтали;
3) жёсткая заделка (нулевые перемещения по вертикали, горизонтали, при повороте).
Расчётная схема свайного фундамента представляет собой раму, состоящую из горизонтальной плиты ростверка и заделанных в плиту вертикальных и наклонных стержней конечной жёсткости, моделирующих сваи.
Плита ростверка, как правило, считается жёсткой. В этом случае нагрузки, приложенные к плите, заменяются равнодействующими: вертикальной силой Nd, горизонтальными силами Нх, Ну, моментами Му, Мх, действующими в вертикальных взаимно перпендикулярных плоскостях, моментом Мz в горизонтальной плоскости плиты. Пространственный расчёт свайных фундаментов требуется достаточно редко. При проектировании в большинстве случаев расчёт ведётся раздельно по плоским расчётным схемам в вертикальных плоскостях XOZ и YOZ на нагрузки Nd, Нх, Му и Nd, Ну, Мх (рис. 7,а,б).
Рис. 7. Плоские расчетные схемы свайного фундамента:
а – в плоскости XOZ; б – в плоскости YOZ.
Другой вариант расчётной схемы свайных систем – рама, состоящая из стержней, моделирующих сваи, и ригеля (плиты ростверка) конечной жёсткости (рис. 8). В этом случае нагрузки, приложенные к ригелю, сохраняют своё положение и не могут быть заменены равнодействующими силами.
«Местные» нагрузки, действующие непосредственно на сваи в пределах их свободной части, задаются в виде сосредоточенных сил или линейно распределённых полос с указанием точек (границ) их приложения.
Рис.8. Свайный фундамент с ригелем (плитой) конечной жесткости
Расчёты свайных фундаментов в соответствии со схемами на рисунках 7, 8 могут быть выполнены при помощи современных программных комплексов, реализующих МКЭ (LIRA, SCAD и др.). По результатам расчётов строятся эпюры моментов Mz, поперечных сил Qz, перемещений yz при изгибе свай, контактных давлений σz, которые определяются двумя тождественными способами по формулам
σz= yz Cz = yz Kz либо 
, (5.10)
где Rk – продольная сила в k -й упругоподатливой связи (условной «пружине») на глубине z, полученная по результатам расчёта МКЭ.
Расчёты свайных фундаментов по предельным состояниям включают четыре группы главных проверок:
– расчёт нормальных сечений свай при изгибе, внецентренном сжатии-растяжении;
– расчёт свай по поперечной силе;
– проверку несущей способности свай по грунту;
– проверку прочности основания по условию ограничения горизонтального давления боковой поверхности свай на грунт.