Содержание дисциплины
Раздел 1. Интегральное исчисление функций одной переменной и его приложения
Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование
Основные методы интегрирования:замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование дробно-рациональных функций.
Определенный интеграл как предел интегральных сумм, его основные свойства. Формула Ньютона-Лейбниц вычисления определенного интеграла.
Методы интегрирования заменой переменного и по частям в определенном интеграле. Приложения интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
Приближенное вычисление определенных интегралов с помощью методов Симпсона и трапеций.
Несобственные интегралы.
Раздел 2Дифференциальное исчисление функций
Нескольких переменных
Функции нескольких переменных. Функции двух переменных, их геометрическое представление с помощью графика и линий уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Дифференцируемость функции нескольких переменных. Частные производные и полный дифференциал. Частные производные высших порядков.
Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.
Экстремальные задачи с ограничениями. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на ограниченном замкнутом множестве. Метод множителей Лагранжа решения задач на условный экстремум.
Элементы теории поля. Векторная функция скалярного аргумента. Производные векторной функции различных порядков. Применение векторных функций для описания движения точки в пространстве.
Скалярные и векторные поля, их задание скалярной и векторной функцией нескольких переменных. Линии уровня плоского скалярного поля, поверхности уровня пространственного скалярного поля. Градиент скалярногополя, экстремальные свойства градиента. Простейшие характеристики векторного поля: векторные линии, векторные трубки.
Раздел 3. Интегральное исчисление Функций нескольких переменных
Понятие интеграла по произвольной области, его свойства. Конкретизация интеграла на различные области.
Интеграл по мере по заданной области. Двойной, тройной и криволинейный интегралы.
Криволинейный интеграл 2-го рода.
Приложения интегралов в механике
Раздел 4.Дифференциальные уравнения и системы
Понятие дифференциального уравнения, порядка и решения дифференциального уравнения.Обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, основные понятия: общее и частное решения, интегральная кривая, начальные условия. Основные классы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.
Задача о колебании груза на пружине.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Нахождение общего решения однородного уравнения по виду характеристического уравнения. Нахождение общего решения неоднородного уравнения в случае правой части специального вида.
Системы дифференциальных уравнений.
Раздел 5.Числовые и функциональные ряды. Элементы функционального анализа
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными членами. Признаки их сходимости. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Функциональные ряды, множество сходимости функционального ряда, Степенные ряды, радиус, промежуток и интервал сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды (Тейлора), условие разложимости.
Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.
Ряды Фурье по тригонометрическим системам. Ортогональность системы тригонометрических функций. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье. Условие поточечной сходимости и сходимости "в среднем". Применение тригонометрических рядов Фурье в приближенных вычислениях.
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
В преподавании математики используются следующие образовательные технологии:
• лекции; практические занятия, расчетно-графические работы, домашние задания на которых отрабатываются вопросы лекций, доклады, контрольные работы, тестирование;
• самостоятельная работа студентов, включающая усвоение теоретического материала, подготовку к практическим занятиям, лабораторным работам, выполнение творческих заданий, написание рефератов, тезисов, статей, работу с электронным учебно-методическим комплексом, подготовку к текущему контролю знаний и экзамену;
• тестирование по отдельным темам дисциплины, по модулям программы;
• НИРС, включающая занятия студентов в студенческом математическом кружке, написание рефератов, тезисов, статей, участие в конференциях, олимпиадах;
• консультирование студентов по вопросам учебного материала, написания тезисов, статей, докладов на конференции;
• рейтинговая технология контроля учебной деятельности студентов для обеспечения их ритмичной работы в течение семестра;
• использование информационной системы «Таймлайн».
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫСТУДЕНТОВ