Каноническое уравнение гиперболы

Тема 7. Гипербола

Важные термины лекции (14 штук):

Гипербола, дробно-линейная функция, асимптота, фокусы гиперболы, фокальный радиус, фокусное расстояние, эксцентриситет, каноническая для гиперболы система координат, фокальная или действительная ось, каноническое уравнение гиперболы, главные для гиперболы оси координат, центр гиперболы, основной прямоугольник гиперболы, директриса гиперболы.

Гипербола как график дробно-линейной функции

Общий вид .

Простейший вид – гипербола.

Важная особенность графика гиперболы в том, что гипербола имеет асимптоты. Асимптота – прямая, такая, что расстояние от точки графика до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Асимптоты могут быть горизонтальными, вертикальными и наклонными.

При построении графика дробно-линейной функции важно уметь выделять целую часть:

, где

• –d/c показывает, настолько график смещен вправо/влево вдоль оси Ох (вертикальная асимптота);
• а/с показывает, насколько график смещен вверх/вниз вдоль оси Oy (горизонтальная асимптота);
• знак выражения (bc - ad) показывает, отражен ли график относительно осей, образованных асимптотами (если >0, то график расположен в 1 и 3 четвертях, если <0, то во 2 и 4 четвертях, образованных асимптотами).

Каноническое уравнение гиперболы

Вопрос, как задать гиперболу, когда асимптоты и ветви гиперболы не просто сдвигаются вверх или вниз относительно осей координат, а поворачиваются.

Для этого введем следующее определение гиперболы:

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Расстояния от А до F₁ (назовем его r₁) и от А до F₂ (назовем его r₂) называются фокальными радиусами. По определению, точка А является точкой гиперболы тогда и только тогда, когда - величина постоянная. Эту величину принято обозначать 2 а. .

По определению гиперболы, ее фокусы есть фиксированные точки, поэтому расстояние между ними есть также величина постоянная для данной гиперболы.

Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием. Эту величину принято обозначать 2 с. .

При этом из треугольника F₁AF₂ можно увидеть, что .

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы.

Введем на данной плоскости систему координат, которая будет называться канонической для гиперболы.

Отрезок, соединяющий ближайшие друг к другу точки разных веток гиперболы и равный 2 а, называется фокальной осью или действительной осью гиперболы. На нем строится ось абсцисс, а ось ординат проводится через середину отрезка F₁F₂ перпендикулярно фокальной оси. Тогда фокусы имеют координаты .

В канонической для гиперболы системе координат уравнение гиперболы имеет вид: , где . Это так называемое каноническое уравнение гиперболы.

Канонические для гиперболы оси координат называются главными осями гиперболы. Начало канонической для гиперболы системы координат называется центром гиперболы. Две пары прямых, параллельных главным осям гиперболы образуют прямоугольник, который называется основным прямоугольником гиперболы.

Собственно, при построении гиперболы строим основной прямоугольник гиперболы и проводим его диагонали. Продолжая диагонали прямоугольника за его пределы, получаем асимптоты гиперболы, они задаются уравнениями (его можно получить, решив уравнение ).

Директрисами гиперболы называются две прямые, уравнения которых в канонической для гиперболы системе координат имеют вид . Так как .

Расстояние между директрисами равно .

Отсюда следует еще одно определение гиперболы:

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, большая единицы, и называемая ее эксцентриситетом:

Домашнее задание 7

Ноября 2019

1. Напишите, что такое действительная и мнимая оси гиперболы? Действительная и мнимая полуоси гиперболы? Чему они равны? Нарисуйте график произвольной гиперболы и обозначьте их на графике.

2. Решить неравенство .

3. Построить график функции и решить

4. Доказать, что уравнение является уравнением гиперболы. Найти координаты фокусов.

5. Найти все х, удовлетворяющие условию

6. Построить график функции и решить неравенство .

7. Даны фокусы гиперболы и и ее асимптота . Написать уравнение гиперболы.

8. Найти все значения a, при которых неравенство выполняется для всех x, таких что

9. Переведите уравнение гиперболы в канонический вид. Найдите координаты фокусов этой гиперболы. Подсказка: можно воспользоваться правилом для поворота на угол против часовой стрелки (лекция 1) (за это задание дается 2 балла).