Теоретические сведения
Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
1.Разложение функции 
в ряд Маклорена.
. Областью сходимости ряда является промежуток 
.
2. Разложение функции 
в ряд Маклорена.
. Областью сходимости ряда является промежуток .
3. Разложение функции 
в ряд Маклорена.
. Областью сходимости ряда является промежуток .
4. Биномиальный ряд. Разложим в ряд Маклорена функцию 
, где 
–любое действительное число.
при 
.
5. Разложение функции 
в ряд Тейлора.
При 
имеет место разложение:
.
6. Разложение функции 
в ряд Маклорена
. Область сходимости 
.
7. Разложение функции 
в ряд Маклорена.
Область сходимости .
Пример 1. Разложить в степенной ряд функцию 
.
Очевидно, 
. Обозначим 
и воспользуемся биномиальным рядом при 
.
, 
.
Возвращаясь к переменной 
, получаем при :
Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям
Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближенных вычислениях. Рассмотрим это на примерах.
Пример 1. Вычислить 
с точностью до 0,001.
Воспользуемся полученным разложением: 
.
Тогда: 
Так как ряд знакочередующийся и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.
Пример 2. Вычислить 
с точностью до 0,001.
. Используем биномиальный ряд: 
, 
.
Так как ряд знакочередующийся и 0,00096<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,00096, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.
Пример 3. Вычислить 
с точностью до 0,001.
Для функции 
формула Тейлора имеет вид:
, где 
, 
.
При 
получаем знакоположительный числовой ряд; 
. 
, поэтому 
и 
. Тогда 
. Необходимо взять столько членов ряда, чтобы выполнялось условие 
или 
.
При 
получаем:
.
Так как 0,0002<0,0005, то достаточно взять четыре слагаемых.
Пример 4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение 
, 
методом последовательного дифференцирования.
Будем искать решение в виде ряда Маклорена:
.
, 
, 
, 
, 
, 
при 
.
При 
получаем: , 
, 
, 
при 
.
Окончательно получаем 
.
Задания для решения в аудитории
1. Разложите функцию 
в ряд по степеням х-1.
2. Разложите функцию 
в ряд по степеням х+1.
3. Разложите функцию 
в ряд по степеням х.
4. Разложите функцию 
в ряд по степеням х.
5. Разложите функцию 
в ряд по степеням х.
6. Разложите функцию 
в ряд по степеням х.
7. Разложите функцию 
в ряд по степеням х.
8. Разложите функцию 
в ряд по степеням х.
9. Разложите функцию 
в ряд по степеням х-1.
10. Разложите функцию 
в ряд по степеням х.
11. Разложите функцию 
в ряд по степеням х
12. Разложите функцию 
в ряд по степеням х-2.
13. Разложите функцию 
в ряд по степеням х- 
.
14. Вычислите 
с точностью до 0,00001.
15. Вычислите 
с точностью до 0,0001.
16. Вычислите 
с точностью до 0,0001.
17. Вычислите 
с точностью до 0,0001.
18. Вычислите 
с точностью до 0,001.
19. Вычислите 
с точностью до 0,0001.
20. Вычислите 
с точностью до 0,0001.
21. Вычислите 
с точностью до 0,00001.
22. Вычислите 
с точностью до 0,0001.
23. Вычислите π с точностью до 0,001, полагая 
в разложении arctg x.
24. Найдите 
.
25. Найдите 
.
26. Вычислите 
с точностью до 0,0001.
27. Вычислите 
с точностью до 0,001.
28. Вычислите 
с точностью до 0,001.
Домашнее задание № 9
1. Разложите функцию 
в ряд по степеням х-1.
2. Разложите функцию 
в ряд по степеням х.
3. Разложите функцию 
в ряд по степеням х.
4. Разложите функцию 
в ряд по степеням х.
5. Разложите функцию 
в ряд по степеням х.
6. Разложите функцию 
в ряд по степеням х.
7. Разложите функцию 
в ряд по степеням х+1.
8. Разложите функцию в ряд по степеням х+1.
9. Вычислите е с точностью до 0,00001.
10. Вычислите 
с точностью до 0,0001.
11. Вычислите 
с точностью до 0,0001.
12. Вычислите 
с точностью до 0,001.