Как известно из опыта, любое твердое тело при температуре Т излучает в окружающее пространство электромагнитные волны. Такое излучение, называемое тепловым, происходит за счет внутренней энергии тела и имеет сплошной спектр в отличие от люминесценции - излучения, происходящего под действием внешних источников энергии: оптических (фотолюминесценция), химических (хеми-люминесценция), электрических (электролюминесценция), электронных (катодо-люминесценция). Энергия излучения в спектрах распределена по частотным интервалам различно (в зависимости от свойств излучающего тела).
Замкнутая система тел, обменивающихся между собой энергией в виде теплового излучения, через некоторое время приходит в состояние температурного или теплового равновесия. Представим себе некоторое тело А, расположенное в полости другого тела В; эти тела обмениваются друг с другом излучением. Если их температуры ТА и Тв были вначале различны, то через некоторое время они сравняются. Значение равновесной температуры обозначим через Т. Предположим, что в стенках полости имеется небольшое отверстие площадью dS, наличие которого практически не влияет на общий энергетический баланс между взаимодействующими телами. Тогда, наблюдая излучение из отверстия, можно исследовать свойства теплового равновесного излучения. Для определенности описания теплового излучения введем ряд понятий.
Величину, определяемую энергией поля излучения в единичном объеме свободного пространства внутри полости в интервале частот, назовем объемной плотностью энергии излучения
Величину, определяемую энергией, испускаемой с единичной площади отверстия в стенке в единичном интервале частот около частоты n, будем называть поверхностной плотностью энергии излучения Можно показать, что
(9.9)
Аналогичная величина, характеризующая излучение поверхности тела с температурой Т, называется лучеиспускательной способностью тела
Введем также безразмерный коэффициент
равный отношению мощности излучения, поглощаемой элементом поверхности тела, находящегося в полости, к падающей на него мощности; его называют поглощательной способностью тела. Для отверстия в стенках, очевидно,
Если существует тепловое равновесие между полем и веществом при некоторой температуре Т, то мощности излучения, проходящие через каждую элементарную площадку поверхности тел от поля к веществу и в обратном направлении, должны быть одинаковыми. Мощность излучения, проходящая от поля к веществу через единичную площадку в диапазоне частот 
около частоты 
равна
мощность излучения, проходящая в обратном направлении, представляет сумму отраженной мощности [1- a (n, Т)]d n × e (n,T) и мощности, излученной телом e (n,T)d n.
Таким образом, при равновесии
(9.10)
Равенство (9.10) является не чем иным, как выражением закона сохранения энергии для теплового равновесия. Из (9.10) следует, что
(9.11)
Отношение лучеиспускательной способности к поглощательной способности для любого тела, находящегося в равновесии с излучением при температуре Т, является величиной постоянной. Это утверждение выражает содержание закона Кирхгофа.
Мы не налагали никаких ограничений на свойства тела, находящегося в полости. Следовательно, уравнение (9.11) имеет общий характер.
Из (9.11) видно, что величину можно рассматривать как лучеиспускательную способность такого тела, у которого поглощательная способность для всех частот равна единице. Такое тело называют абсолютно черным. Поэтому излучение из небольшого отверстия в стенках полости при тепловом равновесии можно рассматривать как излучение абсолютно черного тела. В то же время ясно, что внешнее излучение, попадающее через такое отверстие внутрь полости, имеет ничтожно малую вероятность выйти обратно, т.е. полость обладает полным поглощением, как это и должно быть у абсолютно черного тела.
Опыт показывает, что небольшое отверстие в стенке, например, муфельной печи при комнатной температуре кажется черным, так как полость, поглощая все попадающее в нее излучение, почти не излучает, будучи холодной. Но при нагреве стенок печи отверстие кажется ярко светящимся, так как поток «черного» излучения, выходящий из него при высокой температуре (900 К и выше), достаточно интенсивен. По мере роста температуры интенсивность растет; кроме того, красное вначале излучение делается желтым, а затем белым.
Если в полости находится, например, чашка из белого фарфора с темным узором, то внутри горячей печи узор не будет заметен, так как его собственное излучение вместе с отраженным совпадает по составу с излучением, заполняющим полость. Если быстро вынести чашку наружу, в светлую комнату, то сначала темный узор светится ярче белого фона. После охлаждения собственное излучение чашки становится исчезающе малым, в свете, заполняющем комнату, снова получается темный узор на белом фоне.
Качественная проверка следствий из уравнения (9.11) может быть проведена при помощи полого кубика, имеющего тонкие металлические стенки; одна из граней отполирована, другая покрыта слоем сажи или черной краски. Кубик снабжен электрическим нагревателем и заполнен водой, температура воды поддерживается близкой к температуре кипения. Вблизи кубика расположен чувствительный термоэлемент с гальванометром.
Если обратить к термоэлементу полированную грань, то термоэлемент нагревается едва заметно; нагрев резко увеличивается при обращении к термоэлементу черной грани. Далее, вблизи черной грани устанавливается термоэлемент из проволок, имеющих блестящую поверхность. Он нагревается не очень сильно. Если же проволоки зачернить, например покрыв слоем сажи, то нагрев резко возрастает. Описанные результаты соответствуют закону Кирхгофа: большей поглощательной способности отвечает большая лучеиспускательная.
ЗАКОНЫИЗЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА. ФОРМУЛА ПЛАНКА
Из закона Кирхгофа видна важная роль лучеиспускательной способности абсолютно черного тела, характеризующей отношение 
для любого тела независимо от его природы при тепловом равновесии. Поэтому понятен интерес физиков к экспериментальному исследованию излучения абсолютно черного тела и теоретическому объяснению полученных результатов.
Планк Макс (1858-1947), немецкий физик. В 1900 г. ввел понятие кванта электромагнитного излучения, с помощью которого объяснил особенности излучения абсолютно черного тела. Ввел фундаментальную физическую постоянную - h (постоянную Планка). Известен работами в области теории относительности и термодинамики. За работы в области квантовой теории удостоен Нобелевской премии по физике (1918).
Кривые, характеризующие распределение энергии в спектре черного тела при нескольких температурах, показаны на рисунке.
Их характерные особенности таковы:
1. Мощность излучения (в интервале частот 
- немонотонная функция частоты. Она имеет максимум вблизи некоторой частоты 
. Этот максимум при повышении температуры смещается в сторону высоких частот, причем выполняется закон смещения, теоретически найденный Вином:
2. При повышении температуры мощность излучения в любом интервале частот увеличивается.
3.Плотность (поверхностная) потока излучения (интенсивность) I, характеризуемая площадью под кривой 
, растет с температурой по закону, найденному теоретически Стефаном и Больцманом:
где 
Однако аналитическое выражение всей кривой теоретически получить не удавалось, пока применялись методы классической физики, в частности пока предполагалось, что элементарные излучатели, совокупность которых соответствует черному телу, могут иметь любую энергию и излучают непрерывно.
В 1900 г. Планк получил сначала эмпирическое (на основании опытных данных) выражение для функции 
, затем это выражение, превосходно совпадающее с опытом, было им выведено теоретически. Но при этом Планку пришлось сделать допущения, в корне противоречившие классическим представлениям.Ему пришлось допустить, что элементарные излучатели могут иметь лишь энергию, удовлетворяющую условию
где h = 6,626×10-34 Дж×с - постоянная Планка, п = 1, 2,....
Излучение также следовало считать не непрерывным, а дискретным, причем излучаемая порция энергии (квант света) равнялась:
При этих предположениях Планк получил следующее выражение:
где к = 1,38×1023 Дж/ К —постоянная Больцмана, одна из важнейших постоянных молекулярной физики.
Покажем, что формуле Планка удовлетворяют законы (9.12) и (9.13).
Введя переменную 
и интегрируя по всем частотам, найдем интенсивность излучения:
(интеграл равен 
. Результат полностью согласуется с законом Стефана - Больцмана.
Найдем теперь максимум функции распределения. Беря производную подынтегральной функции и приравнивая ее нулю, находим:
Это уравнение имеет решения:
Первое и второе решения дают минимум (нуль), третье же - максимум излучения:
(9.17)
что соответствует закону смещения Вина.
Работа Планка была первой работой, где появилась идея дискретности энергии излучения. Мы уже пользовались этой идеей при объяснении ряда явлений поглощения и рассеяния света веществом.
Следует отменить, что вместо функции 
часто вводят
функцию 
так, что
Эти функции отличаются друг от друга. Так как между частотой 
и длиной волны 
существует соотношение
то спектральному интервалу частоты 
отвечает волновой интервал
Поэтому получается:
Ход функций 
и 
неодинаков, но обе они имеют максимум. При этом закон смещения Вина принимает вид:
(9.18)
При этом 
и 
не соответствуют друг другу:
9
что объясняется различным видом кривых распределения мощности по частотам и по длинам волн.
Кривые 
для нескольких температур показаны на рис. 9.17.
Закон Планка достаточно сложен. Если рассматривать область малых частот,
то получается приближенное соотношение
называемое формулой Рэлея - Джинса. Здесь постоянная Планка, отражающая дискретность излучения, отсутствует, так как при малых частотах фотонные свойства делаются малозаметными. Напротив, при больших частотах, когда
получается приближенное выражение
называемое формулой излучения Вина. Здесь фотонные свойства проявляются отчетливо.
Нужно сказать, что закон смещения Вина и формулы излучения Вина и Рэлея-Джинса были теоретически получены до завершения работы Планка, причем авторы исходили из предпосылок классической физики. В формуле Вина (9.20) показатель степени имел вид - 
, а константа А, как и значение множителя 
была определена из опытных данных. Их квантовый характер, конечно, не был известен Вину.Но обе формулы отвечали действительности лишь в ограниченных областях частот. Кроме того, из формулы (9.19) следует, что при неограниченном росте частоты неограниченно растет и функция 
, что невозможно, так как энергия любого тела конечна.
Формула Вина не вела к физически невозможным следствиям, но не отвечала опыту при малых частотах.
На этом рисунке, где по обеим осям выбран логарифмический масштаб, кроме кривых Планка для пяти температур, изображены также (для температуры 10 К) кривая Рэлея - Джинса (Р - Д) и кривая Вина (В).
Сопоставление кривых показывает, что кривая Рэлея - Джинса отражает действительность только при 
, а кривая Вина - лишь при высоких частотах 
, где она практически совпадает с кривой Планка. Логарифмический масштаб удобен для представления функции лучеиспускания в широком интервале частот и температур. В частности, хорошо видно, что максимум излучения приходится на диапазон видимого излучения лишь при достаточно высокой температуре (порядке 104 К). При комнатной же температуре (300 К) максимум соответствует низким, инфракрасным частотам (около 1013 Гц). Бросается в глаза очень крутой спад кривой 
на частотах, превышающих 
9.8. ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛЫПЛАНКА. ИСТОЧНИКИ СВЕТА. ПИРОМЕТРИЯ
Формула Планка поясняет, почему КПД источников света типа ламп накаливания оказывается очень малым. Реальные тела излучают хуже черных, но даже для черного тела при температурах порядка 1400 К (более сильные нагревы нитей накала невозможны из-за быстрого испарения металла нити) максимум излучения лежит в инфракрасной части спектра, а на видимую область приходится лишь малая доля полного излучения. Так, даже газополные лампы (наполнение газом препятствует испарению нити) имеют КПД, не превышающий 3%, а у маломощных ламп он еще ниже.
Более выгодны люминесцентные источники (гл. 11), так как при люминесценции газов излучение сосредоточено в отдельных спектральных областях. Но при этом состав света отличается от состава привычного нам солнечного света (сплошной спектр с максимумом в его желто-зеленой части), и это ограничивает возможности применения, например, натриевых ламп, дающих не очень приятный желтый свет, но обладающих высоким КПД - до 30%.
В современных люминесцентных лампах применяется также преобразование света: электрический разряд вызывает свечение паров ртути, при этом максимум энергии излучения лежит в ультрафиолетовой области. Этот ультрафиолетовый свет вызывает люминесценцию порошка, покрывающего изнутри стенки лампы. Состав порошка можно подобрать так, что его суммарная люминесценция будет близка по составу излучения к солнечному спектру, почему такие лампы и называют лампами дневного света. КПД таких ламп доходит до 8%, что значительно лучше, чем у ламп накаливания.
Другим применением законов излучения является пирометрия - оптические методы измерения высоких (1500 К и выше) температур без контакта с исследуемым телом.
Широко распространенный метод таков: пусть на пути излучения черного тела с температурой Тх поставлено черное тело меньшей температуры Т (практически на пути лучей от источника ставят нить лампы накаливания). Согласно закону Кирхгофа (конечно, он применим лишь приближенно, так как металл не вполне является черным телом) нить в проходящем свете будет казаться темной. Если повышать температуру нити, то контрастность тени уменьшается и при равенстве температур изображение нити практически исчезает. Если же еще повысить температуру нити, то она будет казаться яркой на фоне излучения изучаемого объекта. Так как можно проградуировать прибор, связав силу тока, проходящего через нить, с температурой нити, то получается удобный способ измерения высоких температур. Отклонения от свойств черного тела требуют введения ряда уточнений и вспомогательных понятий - мы не будем ими заниматься.
Хороший пример использования законов излучения черного тела - оценка поверхностной температуры Солнца. Солнце вполне можно считать черным телом, так как падающий на него свет проникает в глубинные слои, почти не испытывая отражения (плотность слоев меняется медленно). Область максимального излучения Солнца приходится примерно на длину волны Xmax == 0,48 мкм, поэтому по формуле Вина можно найти температуру поверхности Солнца (Г= 5800 К).
Закон Кирхгофа позволяет производить анализ слоев вещества, испускающих свет (если слои достаточно горячи) или поглощающих проходящий свет (если слои холодны). Зная, какой спектр отвечает тому или иному веществу (а все атомные и молекулярные спектры индивидуальны), можно по спектрам испускания или поглощения судить о химическом составе тела. Этот способ послужил основой широко используемого спектрального анализа веществ. В частности, именно таким образом был открыт на Солнце гелий, в то время не обнаруженный еще на Земле.
Применение спектрального анализа в астрономии позволяет судить о составе небесных тел и убедиться, что они состоят из тех же веществ, которые встречаются на Земле. Впрочем, иногда эти вещества находятся в иных внешних условиях: так, в недрах звезд, где температура достигает миллионов кельвин, атомы могут быть практически полностью лишены своих электронов, т.е. испытать многократную ионизацию (в земных условиях она труднодостижима).
9.9. ФЛУКТУАЦИИ СВЕТОВОГО ПОТОКА. ОПЫТЫС.И.ВАВИЛОВА
С точки зрения квантовых представлений о природе света излучение представляет собой поток фотонов, число которых непрерывно изменяется со временем, флуктуирует около некоторого среднего значения. Относительное значение флуктуации тем меньше, чем выше интенсивность излучения, и наоборот. Таким образом, при малых интенсивностях флуктуации света легче наблюдать экспериментально, располагая чувствительным приемником света. С.И.Вавилов для наблюдения флуктуации использовал глаз человека как приемник света, имея в виду, что при длительной
Вавилов Сергей Иванович (1891-1951), советский физик, президент Академии наук СССР (1945-1951). Исследовал явление люминесценции. Установил в 1927 г. зависимость квантового выхода люминесценции от частоты возбуждающего излучения (закон Вавилова), обнаружил (совместно с В.Л.Левшиным) нелинейный эффект в оптике (1923). Аспирантом Вавилова Черенковым П.А. в 1934 г. обнаружено свечение жидкостей под действием g - лучей (эффект Вавилова-Черенкова). Разработал люминесцентные лампы.