Операции над множествами

Рассмотрим некоторые операции над множествами.

 

Пересечение множеств

Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} иB={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.

 

Определение 1.4

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: АÇВ, где символ Ç - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 1.4 можно записать следующим образом:

 

Р=АÇВ= {x ïxÎA и xÎB}={x ï xÎA Ù xÎB}. (1)

 

Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.

Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:

 

(2)

 

Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак Ù (конъюнкция, или логическое “и”):

 

xÎAÇB Þ xÎA Ù xÎB (2а)

Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х принадлежит как множеству А, так и множеству В.

Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Символически это может быть записано так:

 

(3)

 

где квадратная скобка заменяет союз “или”.

В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком Ú (дизъюнкция, логическое “или”):

 

хÏАÇВ Þ хÏА Ú хÏВ. (3а)

 

Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 7¸10 (пересечение заштриховано).

 

 

 

рис. 7 рис. 8 рис. 9 рис. 10

Объединение множеств

Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Определение 1.5

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

А È В, где È - символ объединения множеств. Определение 1.5 можно записать с помощью характеристического свойства:

 

С= А È В={xï xÎA или xÎB}. (4)

 

Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой

 

(5)

 

а также знаком дизъюнкции

 

х ÎА È В Þ хÎА Ú хÎВ. (5а)

 

Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.

Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:

 

(6)

или

 

x ÏAÈB Þ xÏA Ù xÏB. (6а)

 

Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис. 11÷14 (объединение заштриховано).

 

 

рис. 11 рис. 12 рис. 13 рис. 14

 

Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

 

АÈА=А, АÈÆ=А, АÈU=U. (7)

 

Замечание1.

Если А₁, А₂,…, А_n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

 

Р= А₁Ç А₂Ç…Ç А_n={x ï xÎ" A_i, i= },

 

Где символ " (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств A_i, которая принадлежит каждому множеству одновременно.

 

Замечание 2.

Если А₁, А₂,…, А_n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

 

C= A₁ÈA₂È…ÈA_n={x ï xÎA₁ или xÎA₂ или …или xÎA_n}.

 

Замечание 3.

Если в выражении есть знаки È и Ç и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

 

Разность множеств

 

Определение 1.6

Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Символически разность двух множеств обозначается так:

А ÷ В, где символ ÷ является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 1.6 следующим образом:

C=A ÷ B={x ï xÎA и xÏB} (8)

Или

(9)

а также xÎA÷B Þ xÎA Ù xÏB. (9а)

 

Пример 1.

 

Если E₁={2; 4; 6} и E₂={6; 8; 10}, то E₃=E₁÷E₂={2; 4}, E₄=E₂÷E₁={8;10}.

 

Пример 2.

Если M₁={x₁; x₂; x₃}, M₂={y₁; y₂}, то M₃=M₁÷M₂={ x₁; x₂; x₃},

M₄=M₂÷M₁={y₁; y₂}.

Пример 3.

 

Если K₁={1; 3; 5; 7; 9}, K₂={5; 7; 1}, то K₃=K₁÷K₂={3; 9}, K₄=K₂÷K₁=Æ.

 

Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 15÷18, где множество А ÷ В заштриховано.

 

 

рис. 15 рис. 16 рис. 17 рис. 18

Дополнение к множеству

Определение 1.7

Пусть В Ì А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или .

Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или .

 

Определение 1.8

Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают или .

Это определение может быть записано в виде:

 

= {x ï xÏA}. (10)

 

Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

 

рис. 19 рис. 20