Как обработать результаты измерений

Как провести эксперимент

В физическом практикуме на каждое лабораторное занятие отво­дится два академических часа. Необходимо использовать все это время так, чтобы не только получить экспериментальные результаты, но и произвести начальную обработку результатов. Это избавит Вас от ряда возможных ошибок и существенно сократит затраты времени на их окончательную обработку.

После беседы с преподавателем и получения допуска к работе:

- соберите установку, получив необходимые детали и принадлежности у лаборанта, или, если она была собрана, проверьте самостоятельно правильность сборки;

- запишите в рабочую тетрадь указания преподавателя по проведению работы;

- покажите готовую установку преподавателю или лаборанту для проверки, и, получив разрешение, включите питание установки и приступайте к проведению измерений.

Перед началом измерений обязательно пред­ставьте себе ход работы. Уточните для себя еще раз, изменение какой вели­чины нужно задавать и какая другая величина будет при этом меняться. Установите, по какому из приборов Вы будете задавать изменение величины, а по какому следить за происходящими в процессе опыта изменениями, и регистриро­вать значения. Все записи, касающиеся выполнения эксперимента, сле­дует делать только в рабочей тетради, а не на отдельных листах..

Закончив эксперимент, нужно проверить и записать недо­стающие сведения об измерительных приборах. Для каждого из приборов должна быть указана систематическая погрешность, которая может быть рассчитана, исходя из его класса точности.

 

Как обработать результаты измерений

Точно измерить физическую величину невозможно, поэтому результаты измерений всегда носят приближённый характер. Задача любого опыта – установить степень этой приближённости, т.е. определить погрешность измерений. Все погрешности подразделяются на систематические, случайные и промахи.

Для учёта случайных погрешностей при многократных прямых измерениях какой-либо физической величины производят их математическую обработку с помощью теории вероятностей. В условиях учебного процесса можно использовать её упрощенный вариант, который включает в себя определение среднего арифметического значения < х > измеряемой величины х, абсолютной погрешности Δ х и относительной погрешности ε_х опыта.

1. Пусть произведено n измерений величины х, и в результате был получен ряд значений х₁, х₂ ,…, х_n. За наиболее близкое значение к истинному значению х_и измеряемой величины х принимают её среднее арифметическое

.

2. Абсолютной погрешностью опыта (серии измерений) называют величину,

,

где - абсолютное значение разности между величиной х_i, полученной в i – том измерении и средним значением < х >. Абсолютная погрешность опыта характеризует таким образом качество проведённых измерений, т. е. указывает, на сколько истинное значение измеряемой величины может отличаться от значения, измеренного в опыте.

3. Для оценки точности, с которой определена измеряемая величина, используется понятие относительной погрешности:

.

Таким образом, относительная погрешность показывает, какая часть абсолютной погрешности приходится на каждую единицу измеряемой величины.

Пример. При измерении толщины h стеклянной пластинки с помощью микрометра было сделано четыре измерения, результаты которых занесены в табл. 1:

Таблица 1.

 

Результаты измерений толщины стеклянной пластинки

 

№ измерения	h, мм	< h >, мм	Δ hi, мм	Δ h, мм	εh, %
	3,82	3,84	- 0,02	0,03	0,8
	3,85	+ 0,01
	3,89	+ 0,05
	3,80	- 0,04

 

1. По данным таблицы рассчитываем среднее значение толщины:

1. Определяем абсолютную погрешность опыта (серии измерений):

1. Определяем относительную погрешность:

При косвенных измерениях искомую величину вычисляют по результатам прямого измерения других величин, связанных с искомой определённой функциональной зависимостью y = f (x₁,х₂,…,х_n).

Абсолютная и относительная погрешности некоторых простейших функций приведены в табл.2.

 

Таблица 2

Погрешности при косвенных измерениях в простейших случаях

 

Вид функции	Абсолютная погрешность Δ y	Относительная погрешность εy
x 1 + x 2	Δ x 1 + Δ x 2
x 1 - x 2	Δ x 1 + Δ x 2
x 1 x 2	x 1 Δ x 2 + x 2 Δ x 1	ε x 1 + ε x 2
x 1 / x 2		ε x 1 + ε x 2
xn	nxn- 1 Δ x	n ε x
ex	ex Δ x	Δ x

 

Когда функция y = f (x₁,х₂,…,х_n) удобна для логарифмирования, то вначале лучше рассчитать относительную погрешность ε _y функции (в %) и затем её абсолютную погрешность

.

 

Пример. Ускорение свободного падения g определяется по результатам измерений периодов колебаний Т ₁ и Т ₂ двух математических маятников с длинами l ₁ и l ₂ соответственно (l ₁ > l ₂) по формуле

,

где a = l ₁ - l ₂. Логарифмирование даёт ln g = ln(4π²) + ln a – ln . После дифференцирования ln g с заменами da на Δ a и dТ на Δ Т получим:

 

 

(предполагается, что погрешности независимых измерений Δ a, Δ Т ₁ и Δ Т ₂ усиливают друг друга, и поэтому их влияние учитывается в формуле со знаком плюс). Затем найдём абсолютную погрешность

, где .

Окончательный результат вычислений – среднее арифметическое измеряемой величины записывают в виде числа из нескольких разрядов. Цифры в этом числе делятся на значащие и незначащие. К значащим цифрам относятся все верные и сомнительные цифры. К незначащим относятся: а) нули в начале числа, определяющие разряды десятичных дробей в числах меньших единицы; б) нули в конце числа, заменившие цифры после округления; в) неверные цифры, если они не были отброшены.

Для определения значащих цифр в результате измерения необходимо вычислить абсолютную погрешность опыта, числовое значение которой тоже может содержать несколько разрядов. Но абсолютная погрешность показывает, в каком разряде полученного результата содержится неточность. Поэтому её числовое значение всегда округляется до одной значащей цифры, кроме того, в случае когда эта цифра представляет единицу – в этом случае округление производится до цифры первого младшего разряда. Тогда сохранение цифр меньших разрядов в среднем арифметическом измеряемой величины теряет смысл.

Пример. В нескольких опытах по результатам измерений периода колебаний математического маятника было проведено с различной погрешностью определение ускорения свободного падения:

неправильная запись результата правильная запись результата

 

g = (10,1835±0,433) м/с² g = (10,2±0,4) м/с²

g = (9,8167±0,053) м/с² g = (9,82±0,05) м/с²

g = (9,9423±0,132) м/с² g = (9,94 ±0,13) м/с²

g = (10,8261±2,026) м/с² g = (11±2) м/с²

 

При записи измеренного значения х последней, таким образом, должна указываться цифра того десятичного разряда, который был использован при указании погрешности. Это правило должно соблюдаться и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями. Пусть, например, при вычислении g в предыдущем опыте было получено значение 9,88 м/с² (точно), а погрешность составила ± 0,004 м/с², то окончательный результат следует представить в таком виде:

g = 9,880± 0,004 м/с².

При записи окончательного результата измерения наряду с основными единицами СИ и производными от них допускаются к применению кратные единицы (например, см, МПа, мВ и т.д.) в тех случаях, когда это упрощает запись. Полученные в ходе эксперимента результаты часто изображают в виде графика.

При построении графика чаще всего пользуются прямоугольной системой координат, причем значения аргумента откладывают по горизонтальной оси, а значения функции по вертикальной оси. Начало координат не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями функции и аргумента. При выборе масштаба величин, откладываемых на осях координат, исходят из того, чтобы получить примерно равные отрезки, которые соответствуют установленным в опыте интервалам численных значений функции и аргумента. Например, по результатам измерения показателя преломления п водного раствора глюкозы был построен график п= п(с), где с - концентрация глюкозы (рис.1). На рис.1а график удовлетворяет необходимым требованиям. На рис. 1б из-за неудачного выбора масштаба и начала отсчета для п зависимость п(с) почти незаметна, и такой график бесполезен для практического применения.

 

 

Рис. 1

 

Использование гpафических методов облегчается в тех случаях, когда гpафик представляет собой прямую линию. С целью "спрямления" гpафика исследуемой зависимости, имеющей сложный характер, целесообразно использовать нелинейные шкалы, например, логарифмическую, квадратичную и т.д. или откладывать не сами величины аргумента и функции, а их логарифмы, степени, обратные значения. Например, в работе "Исследование теплового излучения чёрного тела" с целью экспериментальной проверки закона Стефана – Больцмана

R_э=σТ ⁴,

где R_э – энергетическая светимость тела, а Т – его абсолютная температура, по оси абсцисс откладывают Т, а по оси ординат - .

Выбрав рациональные масштаб и размеры гpафика, на координатные оси наносят деления через 10-20 мм и обозначают их. Затем наносят экспериментальные точки, с которыми совмещают прямоугольные крестики, размеры которых вдоль осей координат Ох и Оу равны удвоенным погрешностям соответственно 2Δ х и 2Δ у в выбранном масштабе. По отмеченным точкам проводят линию так, чтобы она прошла как можно ближе к экспериментальным точкам, и чтобы равное количество их оказалось по обе стороны от этой линии.

Для построения графиков, как правило, используют масштабно-координатную (миллиметровую) бумагу.

Если в лабораторной работе по графику определяется какая-либо константа, например, как угловой коэффициент экспериментальной прямой y = x₀+kx, то в этом случае тангенс угла α наклона прямой к оси абсцисс может быть определён только с учётом соответствующих масштабов и единиц измерения.

1. Как составить отчет

Отчет завершает лабораторную работу и обобщает результаты всех предыдущих этапов её выполнения. Поэтому в нём обязательно должны содержаться: 1) цель работы; 2) перечень приборов и принадлежностей; 3) необходимые теоретические сведения; 4) рисунок (схема) лабораторной установки; 5) краткий порядок выполнения работы; 6) рабочие формулы с обязательной расшифровкой входящих в них величин; 7) таблицы с экспериментальными данными; 8) оценка надёжности и достоверности результатов - расчет абсолютной и относительной погрешности для величин, полученных прямыми и косвенными измерениями; 9) окончательный результат работы с учётом полученных погрешностей и 10) общие выводы по работе.

Первые пять пунктов отчета были Вами написаны при подготовке к выполнению лабораторной работы, поэтому, если в ходе беседы с преподавателем им не были сделаны замечания, то подготовленный материал может быть использован для окончательного оформления отчета.

Выполняя обработку результатов измерений, приведите в отчёте примеры вычисления значений искомых величин. Производя вычисления, записывайте прежде всего формулу, затем подставляйте в неё числовые значения всех величин и затем находите окончательный результат. Если в ходе опыта какая-то величина определялась при разных условиях (снималась её зависимость от другого параметра), то достаточно привести только один пример вычисления, указав номер измерения из таблицы.

В конце отчёта приводятся:

- значение искомой физической величины с указанием погрешности её определения и точности измерений;

- анализ полученных результатов и, если это возможно, сравнение экспериментально полученного и табличного значений физической величины;

- выводы, вытекающие из экспериментальных данных.