ЗАДАНИЕ 7
ТЕМА 1: ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Основные формулировки задач:
1) какие точки принадлежат промежуткам возрастания / убывания функции (указать их количество, сумму целых точек);
2) в каких точках касательная к графику функции параллельна прямой (или совпадает с ней);
3) найти наибольшее / наименьшее значение функции на числовом промежутке (чаще такая формулировка задания даётся не с графиком функции, а с графиком её производной!);
4) точки экстремума (их количество, сумма целых точек);
5) вычислить значение производной функции в точке;
6) найти количество точек, в которых производная функции положительна, отрицательна или равна нулю (или указать сумму таких целых точек);
7) найти количество решений уравнения ;
8) в какой точке значение производной наибольшее / наименьшее;
9) движение материальной точки;
10) прямая, являющаяся касательной к графику функции (или параллельная касательной) – пять прототипов.
Прототип 1: На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Сколько из отмеченных точек , , , , , , , принадлежат промежуткам убывания функции?
Прототип 2: На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой .
Дополнительные вопросы:
1) Сколько целых точек принадлежат промежуткам возрастания функции?
2) Сколько целых точек принадлежат промежуткам убывания функции на отрезке ?
Прототип 3: На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Дополнительные вопросы:
1) Сколько целых точек принадлежат промежуткам возрастания функции на интервале ?
2) Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой .
Прототип 4: На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите сумму целых точек экстремума функции .
Дополнительные вопросы:
1) Найдите сумму целых точек, входящих в промежутки убывания функции.
2) Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
3) Найдите наименьшее значение функции на интервале .
Прототип 5: На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
Прототип 6: На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.
Дополнительные вопросы:
1) Найдите количество целых точек, входящих в промежутки возрастания функции.
2) Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
3) Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
Прототип 7: На рисунке изображён график дифференцируемой функции , определённой на интервале . Найдите количество решений уравнения на отрезке .
Дополнительные вопросы:
1) Найдите сумму целых точек, входящих в промежутки убывания функции.
2) Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой .
3) Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
4) Найдите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
5) Найдите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Прототип 8: На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Дополнительный вопрос:
В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Прототип 9: Материальная точка движется прямолинейно по закону , где - расстояние от точки отсчёта в метрах, - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 96 м/с? |
Дополнительный вопрос:
Найдите её скорость в м/с в момент времени с.
Прототип 10: Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания. |
Прототип 11: Прямая является касательной к графику функции . Найдите ординату точки касания. |
Прототип 12: Прямая является касательной к графику функции . Найдите . |
Прототип 13: Прямая является касательной к графику функции . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0. |
Прототип 14: Прямая является касательной к графику функции . Найдите . |
Прототип 15: Материальная точка начинает движение из точки и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки до точки со временем. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат – расстояние в метрах. Определите, сколько раз за время движения скорость точки обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).