Элементы математической логики
Логика — наука, изучающая технику суждений и рассуждений.
Разделы логики: формальная логика, математическая логика, компьютерная логика, диалектическая логика.
Формальная логика — дисциплина, изучающая особенности человеческих суждений и рассуждений.
Математическая логика — дисциплина, изучающая технику математических теорий и доказательств.
Диалектическая логика — логика, изучающая закономерности процессов, развивающихся в природе, обществе и сознании.
Компьютерная логика — логика поведения компьютеров при решении ими различного рода задач.
Основные логические связки (операции):
| И | КОНЬЮНКЦИЯ | А и В |
| ИЛИ | ДИЗЬЮНКЦИЯ | А или В |
| НЕ | ОТРИЦАНИЕ | не А |
Таблицы истинности логических операций:
А) связка не.
| А | Не А |
| да | нет |
| нет | да |
НЕ 1: «Отрицание истинно, когда исходное суждение ложно».
НЕ 2: «Отрицание ложно, когда исходное суждение истинно».
Б) связка и (конъюнкция)
| А | В | А и В |
| да | да | да |
| да | нет | нет |
| нет | да | нет |
| нет | нет | нет |
И1: «Конъюнкция А и В истинна, когда истинны оба суждения».
И2: «Конъюнкция А и В ложна, когда ложно суждение А или В».
в) связка или (дизъюнкция).
| А | В | А или В |
| да | да | да |
| да | нет | да |
| нет | да | да |
| нет | нет | нет |
ИЛИ1: «Дизъюнкция А или В истинна, когда истинно хотя бы одно из суждений А или В».
ИЛИ2: «Дизъюнкция А или В ложна, когда ложны оба суждения А и В».
Отрицания математических неравенств:
не 
не
не 
не 
не
не
Логический вывод («импликация»):
Здесь Р называется посылкой, а S — следствием логического вывода.
Таблица истинности импликации:
| P | S |
|
| да | да | да |
| да | нет | нет |
| нет | да | да |
| нет | нет | да |
П1: «Импликация 
ложна, когда посылка Р истинна, а следствие S — ложно»
П2: «Импликация истина, когда истинно следствие, либо ложны и следствие, и посылка»
Основные логические соотношения:
А и В 
В и А.
А или В В или А.
не (не А) А.
не (А и В) (не А) или (не В).
не (А или В) (не А) и (не В).
(А 
В) (не В) (не А).
А В (не А) или В.
В цифровой технике для передачи информации используются кодовые слова, состоящие из набора логических «О» и «1», которые поступают на вход каждого узла ЭВМ, а на выходе при этом образуется новое кодовое слово, представляющее собой результат обработки входных слов. Поэтому можно говорить, что выходное слово есть функция, для которой входной сигнал является аргументом. Такие функции называются функциями алгебры логики (ФАЛ).
Устройства, предназначенные для формирования функций алгебры логики, называются логическими или цифровыми устройствами. Цифровые устройства или узлы можно делить на типы по различным признакам.
По способу ввода и вывода кодовых слов различают логические устройства последовательного, параллельного и смешанного действия.
На входы устройства последовательного действия символы кодовых слов поступают не одновременно, а последовательно по времени, символ за символом (в последовательной форме).
|
Схема последовательной подачи импульсов на вход логического устройства
На входы устройства параллельного действия все символы подаются одновременно (в параллельной форме). В такой же форме формируется машинное слово на выходе.
 1
|  1
| ||
| 0
| 0
| ||
| 1
| 1
| ||
| 1
| 1
| ||
Схема параллельной подачи импульсов на вход логического устройства
В устройствах смешанного действия входные и выходные слова представляются в разных формах. Например, входные слова — в последовательной форме, а выходные — в параллельной.
 | ||
 | ||
 |
Схема работы устройства смешанного действия
По способу функционирования логические устройства и их системы делят на два класса: комбинационные и последовательные.
В комбинационных устройствах (автоматы без памяти) каждый символ на выходе определяется лишь действующими сигналами, поступающими на вход, и не зависят от того, какие символы поступали ранее.
В последовательных системах (автоматы с памятью) выходной сигнал определяется не только набором символов, действующих на входах в данный момент времени, но и внутренним состоянием устройства, зависящим от того, какие символы действовали до этого времени
Задача. Сравните с использованием таблиц истинности логические формулы: не (А и В) и не (А или В).
Решение.
| А | В | не (А и В) |
| да | да | нет |
| да | нет | да |
| нет | да | да |
| нет | нет | да |
| А | В | не (А или В) |
| да | да | нет нет |
| да | нет | нет |
| нет | да | нет |
| нет | нет | да |
Вопросы
1.Что изучает логика?
2.Каковы основные логические связки?
3.Когда истинно отрицание?
4.Когда ложна дизъюнкция?
5.Когда истинна конъюнкция?
Задачи
1. Приведите примеры ложных утверждений
а) из арифметики; б) из алгебры;
в) из геометрии; г) из жизни.
2. Выразите отрицания для высказываний:
а) «мы пойдем в кино»; б) «мы не пойдем никуда»;
в) «х = 0 или х = 1»; г) «а = 0 или в = 0»;
д) «х = 0 и у = 0»; е) «х > 0 и х < 100»;
ж) «а = 0 и в = 0 и с = 0»; з) «х = 0 или у = 0 или z= 0».
3. Составьте таблицы истинности для утверждений:
а) (не А) и (не В); б) (не А) или (не В);
в) А и (не В); г) А или (не В).
4. Сравните с помощью таблиц истинности логические выражения:
а) не (А и В) и (не А) или (не В),
б) не (А или В) и (не А) и (не В),
в)не(А 
В) и (не В) (не А).
5. Проверьте по таблицам истинности, следующие логические законы:
а) закон двойного отрицания:
не (не А) А;
б) перестановочность дизъюнкции:
А и В В и А;
в) перестановочность конъюнкции:
А или В В или А.